2007年普通高等学校招生全国统一考试
参考公式：
数 学（江苏卷）
kkn次独立重复试验恰有k次发生的概率为：Pn(k)?Cnp(1?p)n?k
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为
A．y?sin?的是（D） 2xx B．y?sin2x C．y?cos D．y?cos4x 2422．已知全集U?Z，A?{?1,0,1,2},B?{x|x?x}，则AICUB为（A）
A．{?1,2} B．{?1,0} C．{0,1} D．{1,2}
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x?2y?0，则它的离心率为（A）
A．5 B．5 C．3 D．2 24．已知两条直线m,n，两个平面?,?，给出下面四个命题：（C）
①m//n,m???n?? ②?//?,m??,n???m//n ③m//n,m//??n//? ④?//?,m//n,m???n?? 其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 5．函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是（D） A．[??,?5?5????] B．[?,?] C．[?,0] D．[?,0] 63666x6．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x?1对称，且当x?1时，f(x)?3?1，则有（B） A．f()?f()?f() B．f()?f()?f()
133223233213C．f()?f()?f() D．f()?f()?f()
3237．若对于任意实数x，有x?a0?a1(x?2)?a2(x?2)?a3(x?2)，则a2的值为（B）
231332322313A．3 B．6 C．9 D．12 8．设f(x)?lg(2?a)是奇函数，则使f(x)?0的x的取值范围是（A） 1?xA．(?1,0) B．(0,1) C．(??,0) D．(??,0)U(1,??) 9．已知二次函数f(x)?ax?bx?c的导数为f'(x)，f'(0)?0，对于任意实数x都有f(x)?0，则的最小值为（C）
A．3 B．
2f(1)f'(0)53 C．2 D． 2210．在平面直角坐标系xOy，已知平面区域A?{(x,y)|x?y?1,且x?0,y?0}，则平面区域
B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}的面积为（B）
A．2 B．1 C．
11 D． 24二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。 11．若cos(???)?13,cos(???)?，.则tan?tan?? 1/2 . 5512．某校开设9门课程供学生选修，其中A,B,C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。（用数值作答）
13．已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? 32 . 14．正三棱锥P?ABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是 o365 . 5x2y2??1上，则15．在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A(?4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆
2516sinA?sinC? 5/4 .
sinB16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t?0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d? 10sin?t60 ，其中t?[0,60]。
三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第2位） （1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分） （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4分）
2?4?解：（1）p?C5???5?2161?4?1??10???0.05 ??25125?5?434?4?（2）P?1?C??1???1?0.0064?0.99
5?5?154?4?41（3）P?C4??1????0.02
5?5?518．（本小题满分12分）如图，已知ABCD?A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE?FC1?1， （1）求证：E,B,F,D1四点共面；（4分）
3D1C1 F
A1B1
D
MH G
EA 2（2）若点G在BC上，BG?，点M在BB1上，
3（4分） GM?BF，垂足为H，求证：EM?面BCC1B1；
C
B
（3）用?表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大小，求tan?。（4分）
解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，所以D1F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又
BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以D1F//BE，所以E,B,F,D1四点共面。
2MBBGMB3（2）因为GM?BF所以?BCF∽?MBG，所以，即??，所以MB=1，因为AE=1，
BCCF32所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1 ，且EM在平面ABB1A1内，所以EM?面BCC1B1
（3）EM?面BCC1B1，所以EM?BF，EM?MH，GM?BF，所以∠MHE就是截面EBFD1和面
BCC1B1所成锐二面角的平面角，∠EMH=90?，所以tan??以3：MH=BF：1，BF=22?32?13，所以MH=ME，ME=AB=3，?BCF∽?MHB，所MHME=13 MH313，所以tan??19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与抛物线y?x相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P,Q，
2yCPBuuuruuur（1）若OA?OB?2，求c的值；（5分）
（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）
解：（1）设过C点的直线为y?kx?c，所以x2?kx?c?c?0?，即
AOQxluuuruuuruuuruuurx?kx?c?0，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，OA=?x1,y1?，OB??x2,y2?，因为OA?OB?2，所以
2x1x2?y1y2?2，即x1x2??kx1?c??kx2?c??2，x1x2?k2x1x2?kc?x1?x2??c2?2
2k?c2?2，即c?c?2?0,所以c?2舍去c??1 所以?c?kc?kcg22/（2）设过Q的切线为y?y1?k1?x?x1?，y?2x，所以k1?2x1，即y?2x1x?2x1?y1?2x1x?x1，
2???x?c?x?x2y1?y2,?c?，又P?1它与y??c的交点为M?1?,2?2?22x1?为x1x2??c,所以?抛物线的切线。
???kk2?k?，所以Q?,?c??,?c?，因??22?2????c?xx??k??x2，所以M?1?2,?c???,?c?,所以点M和点Q重合，也就是QA为此x1??22??2（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q??k??k?,?c?，因为PQ?x轴，所以P?,yP? ?2??2?因为
x1?x2k?，所以P为AB的中点。 2220．（本小题满分16分）已知 {an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1?b1,a2?b2?a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，
（1）若bk?am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk?1?(m?1)a1；（4分）
（2）若b3?ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；（8分） （3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设{an}的公差为d，由a1?b1,a2?b2?a1，知d?0,q?1，d?a1?q?1?（a1?0）
k?1（1）因为bk?am，所以a1q?a1??m?1?a1?q?1?，
qk?1?1??m?1??q?1??2?m??m?1?q，
所以Sk?1?a1?1?qk?1?1?q?a1?m?1??m?1?q?q??m?1?a1
2（2）b3?a1q,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai，
所以q?1??i?1??q?1?,q??i?1?q??i?2??0,解得，但q?1，所以q?i?2，q?1或q?i?2，
22因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为
bn?a1qn?1?n?N??，设数列{an}中的某一项am?m?N??=a1??m?1?a1?q?1?
n?1现在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a1q?a1??m?1?a1?q?1?中m有正整数解即
可，qn?1qn?1?1?1??m?1??q?1?,m?1??1?q?q2?Lqn?2，所以
q?1m?2?q?q2?Lqn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?a1,b2n?b2?a2，当i?3时，因为a1?b1,a2?b2，只要考虑n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正整数，所以m是正整数，
2007年江苏高考数学试卷及答案
