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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1））若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?(A)ab?1 2
(B)ab??1 2
(C)ab?0
(D)ab?2
【答案】A
1x1?cosx2?1,?f(x)在x?0处连续?1?b?ab?1.选A. 【解析】lim?limx?0?x?0?ax2a2ax2a（2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且f''(x)?0，则（ ）
(A)?f(x)dx?0?101?B???1f(x)dx?0?D???1f(x)dx??0f(x)dx011(C)?f(x)dx??f(x)dx?101
【答案】B
【解析】
f(x)为偶函数时满足题设条件，此时?f(x)dx??f(x)dx，排除C,D.
?1001取f(x)?2x?1满足条件，则
2?1?1f(x)dx??1?1?2x2?1?dx??2?0，选B. 3（3）设数列?xn?收敛，则（ ）
(A)当limsinxn?0时，limxn?0 (B)当lim(xn?n??n??n??xn)?0时，limxn?0
n??n??(C)当lim(xn?xn2)?0时，limxn?0 (D)当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??n??n??
【答案】D
【解析】特值法：（A）取xn??，有limsinxn?0,limxn??，A错；
n??n??取xn??1，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
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（A）Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （B）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （C）Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x) （D）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x)
【答案】A
【解析】特征方程为：??4??8?0??1,2?2?2i
**?f(x)?e2x(1?cos2x)?e2x?e2xcos2x?y1?Ae2x,y2?xe2x(Bcos2x?Csin2x), **故特解为：y*?y1?y2?Ae2x?xe2x(Bcos2x?Csin2x),选C.
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（5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0，则 ?x?y（A）f(0,0)?f(1,1) （B）f(0,0)?f(1,1) （C）f(0,1)?f(1,0) （D）f(0,1)?f(1,0) 【答案】C 【解析】
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,?f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函数， ?x?y所以有f(0,1)?f(1,1)?f(1,0)，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）
v(m/s)1020051015202530t(s)
（D）t0?25
（A）t0?10
【答案】B
（B）15?t0?20
（C）t0?25
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t0【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?t00v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
0?
t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
?0????11（7）设A为三阶矩阵，P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵，使得PAP??则A(?1,?2,?3)?，?2???（A）?1??2 （B）?2?2?3 （C）?2??3 （D）?1?2?2
【答案】 B 【解析】
?（ ）
?0??0??0???????P?1AP??1?AP?P1?A(?,?,?)?(?,?,?)1123123???????2?2?3,
???2?2?2???????因此B正确。
?200??210??100???????（8）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??（A）A与C相似,B与C相似
（B）A与C相似,B与C不相似 （D）A与C不相似,B与C不相似
（C）A与C不相似,B与C相似
【答案】B 【解析】由
?E?A?0可知A的特征值为2,2,1,
?100???因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，即A~?020?
?002???由
?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴A~C，但B不相似于C.
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
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(9) 曲线y?x?1?arcsin【答案】y?x?2 【解析】
??2??的斜渐近线方程为_______ x??limy22?lim(1?arcsin)?1,lim?y?x??limxarcsin?2,x??xx??x??x??xx
?y?x?2?x?t?etd2y (10) 设函数y?y(x)由参数方程?确定，则2?______
y?sintdxt?0?【答案】?【解析】
1 8dydxdycost?cost,?1?et??dtdtdx1?et?cost??ttd2y?d2y1?et??sint(1?e)?coste??2???2t2dxdxdx?1?e?dt (11)
't?01??
8???0ln(1?x)dx?_______
(1?x)2【答案】1 【解析】
???0ln(1?x)1dx??ln(1?x)d?(1?x)21?x0?ln(1?x)????1?x??????0????0?1dx?
(1?x)2???01dx?1.(1?x)2yy(12) 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)?yedx?x(1?ye)dy，f(0,0)?0，则
f(x,y)?_____ _【答案】xye
yy【解析】fx??ye,fy??x(1?y)e,f(x,y)?yyyedx?xye?c(y),故 ?y4 4 全国统一服务热线：400—668—2155
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fy??xey?xyey?c?(y)?xey?xyey，
因此c?(y)?0，即c(y)?C，再由f(0,0)?0，可得f(x,y)?xyey.
【答案】 【解析】 （13）
?10dy?tanxdx?______ yx1
【答案】lncos1.
【解析】交换积分次序：
1xtanx1tanx?0dy?yxdx??0dx?0xdy??0tanxdx?lncos1. 11?41?2??1?????（14）设矩阵A?12a的一个特征向量为?1?，则a?_____
???2???31?1????
【答案】-1
?1???【解析】设???1?，由题设知A????，故
?2????41?2??1??1??1??????????????12a1??1?3?2a???????????? ?31?1??2??2??2??2????????????故a??1.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限lim?x?0?x0x?tetdtx3 【答案】
2 3【解析】limx?0?x0x?tetx0x3dt，令x?t?u，则有
x?x0x?tetdt???uex?udu??0uex?udu
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