?5716(11?r?69l2?4r2)?(2r??9l2?4r2)2r ????222?l98019l?4r???78408?评分标准:本题50分.第(1)问10分，(1)式4分，(2)(3)(4)式各2分；
第(2)问40分，(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)式各2分，(12)(13)式各1分，(14)(15)(16(17)(18)(19)式各2分，(20)(21)式各1分，(22)式2分，(23)式4分，(24)(25)式各2分.
三(40分)、某电磁轨道炮的简化模型如图a所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称轴所在平面与水平面的夹角为θ，两导轨的长均为L、半径均为b、每单位长度的电阻均为?，两导轨之间的最近距离为d(d很小).一弹丸质量为m(m较小)的金属弹丸(可视为薄片)置于两导轨之间，弹丸直径为d、电阻为R，与导轨保持良好接触.两导轨下端横截面共面，下端(通过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线)与一电流为I的理想恒流源(恒流源内部的能量损耗可不计)相连，不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小图a.某电磁轨道炮的简化模型为g，真空磁导率为μ0.考虑一弹丸自导轨下端从静止开始被磁场加速直至射出的过程.
(1)求弹丸在加速过程中所受到的磁场作用力； (2)求弹丸的出射速度；
(3)求在弹丸加速过程中任意时刻、以及弹丸出射时刻理想恒流源两端的电压； (4)求在弹丸的整个加速过程中理想恒流源所做的功:
(5)在θ=0°的条件下，若导轨和弹丸的电阻均可忽略，求弹丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比. 参考解答:
(1)由于弹丸直径d很小，每根载流导轨均可视为半无限长载流直导线，弹丸上离某导轨轴线距离为r′处的磁场的磁感应强度大小为
B??0I?0I (1)4分 ?4?r4?(d?2b?r?)方向垂直于两导轨对称轴所在平面斜向下。弹丸长为dr?的一段所受到的磁场作用力(安培力)为
??I??0IdF?IBdr???0?Idr? (2)2分 ??4?r?4?(d?2b?r?)?方向平行于导轨轴线斜向上.弹丸所受到的安培力大小为
F??dF??d?bb??0I??0I??4?r?4?(d?2b?r?)?Idr? ???0I2d?b?0I2(d?2b?b) ?ln?ln4?b4?(d?2b?c?b)?0I2d?b?0I2(d?b) ?ln?ln4?b4?b?0I2d?b (3)2分 ?ln2?b方向平行于导轨轴线斜向上，
(2)设弹丸的加速度大小为a.由牛顿第二定律有
F?mgsin??ma (4)
由(3)(4)式得，弹丸的加速度大小为
?0I2d?ba?ln?gsin? (5)2分
2?mb方向平行于导轨轴线斜向上.
弹丸作匀加速直线运动，弹丸的出射速度vmax满足
22vmax?v0?2aL (6)
由(5)(6)式得
vmax??0I2d?b??2L?ln?gsin?? (7)2分
b?2?m?方向平行于导轨轴线斜向上.
(3)两导轨之间离某导轨轴线距离为r处(不一定是弹丸上一点)的磁场为
Br??0I?0I (8) ?2?r2?(d?2b?r)通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸长为dr的一-段组成平面回路的磁通量为
??I??0Id??Brldr??0??ldr (9)
2?r2?(d?2b?r)??通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸组成平面回路的磁通量为
???a?bb??0I??0I?0Ild?b?ldr?ln (10)4分 ??2?r2?(d?2b?r)?b??根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为
???Ivd?bd? (11)2分 ??0lndt?bdl是弹丸沿导轨的运动速度.由全电路欧姆定律得 dt式中v?U???2?lI?IR (12)2分
式中U为恒流源两端的电压。弹丸做匀加速直线运动，在通电后任意时刻t有
v?at (13)
l?12at (14) 2由(11)(12)(13)(14)式得，在时刻t恒流源两端的电压为
?Id?b1U?2?I?at2?IR?0lnat
2?b即
??0I2d?b?2??0Id?b??0I2d?bU??I?ln?gsin??t?IR?lnln?gsin???t (14)4分
b?b?2?mb?2?m??由(7)(13)式得，弹丸的加速度时间为
12T???I?vmaxd?b?2?0ln?gsin?? (16) ab?2?m?122?由(15)(16)式得，弹丸出射时电源两端的电压为
U?2?IL?IR?2?0I?ln?d?b??0Id?bln?gsin??? (17)4分
b?2?mb?2(4)在弹丸的整个加速过程中，恒流源所做的功为
W??UIdt
0T??分
T02TT?I??0I2d?b?2?d?b??0I2d?b20?I?ln?gsin??tdt??IRdt??lnln?gsin???tdt (18)4002?mb?b2?mb????2下面依次计算(18)式右端的第一项W1、第二项W2，和第三项W3:
W1??T0??0I2d?b??I?ln?gsin??t2dt
b?2?m?2?3?I2??0I2d?b?ln?gsin???T
3?2?mb????I?22?Id?bL?0ln?gsin?? (19)4分 3b?2?m?2?122322?12??I?d?bW2?I2RT?I2R2L?0ln?gsin??
b?2?m??2?0I2Ld?b?0I2d?b??0I2d?bW3?lnln?gsin??T?ln ?2?b?2?mb?b?(5)弹丸出射时的动能为:
Emax??0I2d?b??0I2Ld?b12?mvmax?mL?ln?gsin???ln?mgLsin? (20) 22?mb2?b??在??0的条件下，弹丸出射时的动能为
Emax?0I2Ld?b (21)2分 ?ln2?b若导轨和弹丸的电阻可忽略，恒流源所做的功为
?0I2Ld?b (22)2分 W?ln?b弹丸出射时的动能与恒流源所做的功之比
??Ekmax=50% (23)2分 W评分标准:本题40分.第(1)问8分，(1)式4分，(2)(3)式各2分； 第(2)问6分，(5)式2分，(7)式4分；
第(3)问14分，(10)式4分，(11)(12)式各2分，(15)式4分，(17)式2分； 第(4)问6分，(18)(19)式各3分；第(5)问6分，(21)22)(23)式各2分.
四(40分)、2016年9月，G20峰会在杭州隆重召开，其会议厅的装饰设计既展示出中国建筑的节能环保理念，又体现了浙江的竹文化特色。图a给出了其部分墙面采用的微孔竹板装饰的局部放大照片，该装饰同时又实现了对声波的共振吸收.竹板上有一系列不同面积、周期性排列的长方形微孔，声波进入微孔后导致微孔中的空气柱做简谐振动.单个微孔和竹板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图b所示.假设微孔深度均为l、单个微孔后的空气腔体体积均为V0、微孔横截面积记为S.声波在空气层中传播可视为绝热过程，声波传播速度vs与空气密度?及体积弹性模量?的关系为
vs?? ?其中?是气体压强的增加量?p与其体积V相对变化量之比
????p?p??V
?VV?V5
已知标准状态(273K，latm=1.01×10Pa)下空气(可视为理想气体)的摩尔质量Mmol=29.0g/mol，热容比
??，气体普适常量R=8.31J/(K·mol).
(1)求标准状态下空气的密度和声波在空气中的传播速度vs； (2)求上述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率(用vs、S、I、V0表示)；
(3)为了吸收频率分别为120Hz和200Hz的声波，相应的两种微孔横截面积之比应为多少?
75参考解答:
(1)由理想气体状态方程有
pV?MRT (1)4分 Mmol式中，P、V和T分别为空气的压强、体积和(绝对)温度，M和Mmol分别为空气总质量和；摩尔质量。由(1)式得空气密度为
??MMmolp? VRT在标准状态下(以下标“标”表示)有，
?标?Mmolp标RT标29.0?10?3kg/mol?1.01?105Pa=?1.29kg/m3 (2)2分
8.31J/(K?mol)?273K理想气体的绝热过程满足
pV?=常量
式中γ是热容比。对上式两边微分得
?pV???pV??1?V?0 (3)4分
由(3)式可得，空气的体积弹性模量为
???V?p??p (4)4分 ?V声波在空气中的传播速度为
2019年第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 - 图文
