第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2019年9月21日
一(40分)、如图a，旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳(可视为刚性结构)，三个相同凳脚的端点连线(均水平)构成边长为a的等边三角形，凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心O点处，茶杯质量为m(远小于凳子质量)，其中杯底质量为
m(杯壁和杯底各自的质5量分布都是均匀的)，杯高为H(与杯高相比，杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水，茶水密度为?.重力加速度大小为g.
(1)为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少?
(2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止(凳面边有小凸缘，可防止物体滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的)，且OD⊥AC(见图b)，求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处)的改变.
参考解答:
(1)以凳面中心0为坐标原点，以过O点向上的竖直线为y轴.茶杯(包括茶水在内)的质心位置yCM为
yCM4mHh???(?r2h)2 (1)5分 ?522m??(?rh)式中h是杯中茶水的高度.令h???r2，(1)式即
yCM4mHh2???522 ?m??h事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，
然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置yCM(h?hmax)?(yCM)min，故有
dyCMdh?0 (2)5分
h?hmax由(1)(2)式得
hmaxm?4H?????1?1?? (3)??5m?
舍弃负值(不合题意)，杯中茶水的最佳高度为
hmaxm?4H????1??1? ??5m?
m?4??r2H???1? (4)3分?1???r2?5m???【另一种解法：
事实上，考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程，茶水杯整体的质心先是逐渐降低，然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置yCM(h?hmax)?(yCM)min.(1)式即
yCM2mHm2?52??m??h?m ?m??h2??它满足代数不等式
yCM2mHm22mHm2??m??hm52??52??m=(y) ?2??2CMminm??h2??2??式中当h满足
2mHm2?52??m??h m??h2?即h?hmax?m?4H??1??1? ???5m?m???r2?4??r2H??1? (4)3分?1?5m????
时取等号，hmax即杯中茶水的最佳高度.】
(2)记凳子质量为M.该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆凳的边缘内切于D点静止后，坐标系及三脚圆凳的受力分析分别如解题图a和解题图b所示，其中NA、NB和NC分别是车内底板对凳脚A、B和C的支持力.
由几何关系有
aO?A?O?B?2acos30?3 (5)3O?O???aa2tan30?23 (6)3三脚圆凳处于力平衡状态，竖直方向合力为零
NA?NB?NC?Q?P?0 (7)3NA?NC (8)3式中，Q?mg??hmaxg，P=Mg.由(7)(8)式得以x轴为转动轴，力矩平衡
Q(R?r)?NBO?B?(NA?NC)O?O???0 (9)5记R??R?r，由(5)(6)(9)式有
QR??NaB3?2NaA23?0 【另一种解法：
以AC为转动轴，由力矩平衡条件有
Q(R??O?O??)?NB(O?R?O?O??)?PO?O???0 (9)5即
Q(R??a23)?NaB(3?aa23)?P23?0 】
联立以上各式得
分 分 分 分
分
分
NB?(a?23R?)Q?aP
3a???gR?r?4??r2H???1?23m?M?? (10) ?1?a?5m?????3NA?NC?(a?3R?)Q?aP
3a???gR?r?4??r2H???1?3m?M?? (11) ?1?a?5m?????3值得指出的是，解(10)满足NB＞0，即，
23(R?r)?a4??r2HM＞1?m (12)
a5m这已由题给条件保证了.
由(7)(10)(11)式得，此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为
?NB?(a?23R?)Q?aPP?Q?
3a323R?r4??r2H??1?mg (13)4分
3a5m(a?3R?)Q?aPP?Q?NA??NC??
3a33R?r4??r2H?1?mg (14)6分 3a5m评分标准:本题40分.第(1)问13分，(1)(2)式各5分，(4)式3分；
第(2)问27分，(5)(6)(7)(8)式各3分，(9)式5分，(13)式4分，(14)式6分.
二(50分)、农用平板车的简化模型如图a所示，两车轮的半径均为r(忽略内外半径差)，质量均为m(车轮辐条的质量可忽略)，两轮可2m绕过其中心的光滑细车轴转动(轴m的质量可忽略)；车平板长为l、质把手量为2m，平板的质心恰好位于车轮的轴上；两车把手(可视为细直杆)1的长均为21、质量均为m，且把手前端与平板对齐，平板、把手和车轴固连成一个整体，车轮、平板和把手各自的质量分布都是均匀的.重力加速度大小为g.
(1)该平板车的车轮被一装置(图中未画出)卡住而不能前后移动，但仍可绕车轴转动.将把手提至水平位置由静止开始释放，求把手在与水平地面碰撞前的瞬间的转动角速度.
(2)在把手与水平地面碰撞前的瞬间立即撤去卡住两车轮的装置，同时将车轮和轴锁死，在碰后的瞬间立即解锁，假设碰撞时间较短(但不为零)，碰后把手末端在竖直方向不反弹.已知把手与地面、车轮与地面之间的滑动摩擦系数均为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力).求在车轮从开始运动直至静止的过程中，车轴
移动的距离.
参考解答:
(1)车轮被一装置卡住而不能前后移动，但仍可绕轮轴转动.把手绕车轴的转动惯量为
2?11?1???4?72J1?2?m(2l)?m?l???2?m2?ml2??ml2
4?2???12?6??12?平板绕车轴的转动惯量为
J2?112ml2?ml2 12642ml (1)4分 3平板与把手整体绕车轴的转动惯量为
J?J1?J2?把手和平板整体的质心位置到车轴的距离rC(见解题图a)为
l2?l (2)4分 rC?4m42m设把手与地面碰撞前的瞬间的角速度为?，由机械能守恒有
1J?2?4mgh (3)4分 2式中h是把手和平板整体的质心下降的距离(见解题图b)
2019年第36届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题 - 图文
