匀变速直线运动的位移与时间的关系
理解领悟
本节课运用极限思想，用速度图象中图线下面四边形的面积代表位移，导出了匀变速直线运动的位移公式，并进一步导出了匀变速直线运动的速度—位移关系式。要会应用匀变速直线运动的位移公式及速度—位移关系式分析和计算。
基础级 1. 从速度图象求匀速直线运动的位移
匀速直线运动的速度不随时间变化，所以其速度图象是平行的直线。由匀速直线运动的位移公式x = v t结合速度图象可知，运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积（如图2－20OABC的面积）来表示。
2. 从速度图象求匀变速直线运动的位移
对于匀变速直线运动，上述结论也成立吗？ 间隔越小，对位移的估算就越精确。
图2－21中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体间t内的位移，可用图2－21中的一个个小矩形面积之和（即阶梯
O 图2－21
C t v A O 图2－20
C t v A B 于时间轴匀速直线中矩形
仔细研究教材“思考与讨论”栏目中用纸带上各点的瞬时速度估算小车位移的方法，不难看出：时间
图线。为
B D 隔。设想下一个时图2－21移可以用运动在时状折线与
时间轴之间的面积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。
运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直线运动也是适用的。
3. 用极限思想分析问题
在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间隔趋向于0，介绍了瞬时速度和瞬时加速度；本节课介绍速度图象中图线与时间轴之间四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时，又一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不要求会计算极限。 4. 用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系
由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移x，可以用图2－21中梯形OABC的面积S表示。而 S?1(OA?BC)?OC， 2 x?把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成
1(v0?v)t， 2将v?v0?at代入，可得匀变速直线运动的位移公式
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x?v0t?12at。 2图2－21中梯形OABC的面积S也可表示为矩形AOCD的面积S1和三角形ABD的面积S2之和，即S= S1+ S2，而
S1?AO?OC，S2?（式中k表示直线AB的斜率），故
111AD?BD?AD?kAD?kOC2 2221kOC2。 2 S?AO?OC?把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式
x?v0t?12at。 2 匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号。 5. 用公式表达匀变速直线运动位移与速度的关系
由匀变速直线运动的速度公式和位移公式
v?v0?at，x?v0t?2消去时间t，可得 v2?v0?2ax，
12at 2这就是匀变速直线运动的速度—位移关系式。
匀变速直线运动的速度—位移关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系，在不涉及时间或不需要求时间的情况下，用这个公式分析求解问题通常比较简便。与其他匀变速直线运动的规律一样，该式在应用时也必须注意符号法则，当取初速度的方向为正方向时，加速度和位移也都带有符号。 6. 教材中例题的分析
本节教材的例题研究的是汽车的加速过程，已知汽车运动时间和位移，需求初速度，如图2—22所示。图中，为汽车0~x的位移，则解释为0~t的一段时间；若把x解位置，则解释为t时刻。本题可先由匀变速直线运动的位式 x?v0t?O 图2－22
a=1m/s2 t=12s
v0=? x=180m 180 运动的加速若把x解释
x/m 释为汽车的
移公
12at，得出v0的表达式后再代入数值计算出结果。 27. 两个物体加速度的比较
教材在“比一比”栏目中提出：如果已知两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律由此求出加速度之比？
由匀变速直线运动的位移公式 x?v0t?因v0=0，故有 x?t相同，a?x，即 8. 对匀变速直线运动规律的再认识
到目前为止，我们已经学习了涉及匀变速直线运动规律的四个公式或关系式，它们是： 匀变速直线运动的速度公式 v?v0?at
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12at， 212at， 2a1x1。 ?a2x2 匀变速直线运动的位移公式 x?v0t?匀变速直线运动的速度—位移关系式
12at 22v2?v0?2ax
由平均速度求位移的公式 x?1(v0?v)t 2以上四个公式或关系式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、时间t和位移x五个物理量，每个式子涉及其中的四个物理量。四个公式或关系式中只有两个是独立的，即由任意两式可推出另外两式。而两个独立方程只能解出两个未知量，所以解题时需要三个已知条件才能求解。式中v0、v、a和x均为矢量，应用时要规定正方向（通常将v0的方向规定为正方向），并注意各物理量的正、负。
顺便指出，在v0、v、a、t和x五个物理量中，匀变速直线运动的速度公式涉及到除x外的四个，位移公式涉及到除v外的四个，速度—位移关系式涉及到除t外的四个，由平均速度求位移的公式涉及到除a外的四个。那么，还应该有一个涉及到除v0外的四个物理量的关系式，那就是x?vt?自行证明），不过此式并不常用。
12at（请同学们2发展级 9. 匀变速直线运动某段位移中间位置的速度
我们知道，若匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，则某段时间中间时刻的速度为v中时?那么，匀变速直线运动某段位移中间位置的速度v中位又为多大呢？
设该段位移为x，由匀变速直线运动的速度—位移关系式可得，在前、后两半段分别有
22v中位?v0?2av0?v。2xx22，v?v中时?2a， 22由以上两式可解得 v中位10. 关于初速度为0的匀加速直线运动
因v0=0，由公式x?v0t?2v0?v2。 ?212at，可得 2x?12at， 2这就是初速度为0的匀加速直线运动的位移公式。
2因v0=0，由关系式v2?v0?2ax，可得
v2?2ax，
这就是初速度为0的匀加速直线运动的速度—位移关系式。
对于初速度为0的匀加速直线运动，除了上一节讲到的物体在时刻t、2t、3t、?? n t的速度之比
v1︰v2︰v3︰??︰vn=1︰2︰3︰??︰n
之外，还有如下的一些比例关系：
因加速度a为定值，由v?2ax，可得v?2x。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，
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物体通过位移x、2x、3x、?? nx时的速度之比
v1’︰v2’︰v3’︰??︰vn’=1︰2︰3︰??︰n。
因加速度a为定值，由x?12at可得x?t2。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物2体在时间t、2t、3t、?? nt内通过的位移之比
x1︰x2︰x3︰??︰x n =12︰22︰32︰??︰n2。
由上式可得x1︰(x2－x1) ︰(x3－x2)︰??︰(x n－x n-1)=1︰3︰5︰??︰(2n－1)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时的连续相等的时间内，物体通过的位移之比等于从1开始的连续奇数比，即
xⅠ︰xⅡ︰xⅢ︰??︰xN= 1︰3︰5︰??︰(2n－1)。
因加速度a为定值，由x?12at可得t?x。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物2体通过位移x、2x、3x、?? nx所需的时间之比
t1︰t2︰t3︰??︰t n =1︰2︰3︰??︰n。
由上式可得t1︰(t2－t1) ︰(t3－t2)︰??︰(t n－t n-1)=1︰(2－1)︰(3－2)︰??︰(n－
n?1)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时起，通过连续相等的位移所
需的时间之比
tⅠ︰tⅡ︰tⅢ︰??︰tN =1︰(2－1)︰(3－2)︰??︰(n－n?1)。 11. 匀变速直线运动的位移图象
12本节教材“说一说”栏目要求画出匀变速直线运动x?v0t?at2的草图，运用初中数学中学到的二次函数知识，该草图如图2—23所示，原点的抛物线的一部分。这是匀加速直线运动的位移图象，抛物线的开物体做匀减速直线运动时，抛物线的开口向下。
对于“我们研究的是直线运动，为什么画出来的位移图象不是直线”作如下解释：位移图象描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示轨迹。
12. 利用光电计时器研究自由下落物体的运动
x 的位移图象图线为通过口向上；当
O 图2—23
t 的疑问，可物体运动的
教材“做一做”栏目要求利用光电计时器研究自由下落物体的运动。教材图2.3-4所示的装置用于研究自由落体运动，与电脑计时器配合使用。首先调整立柱竖直，将立柱上的光电门、电磁铁的插口与计时器连接。在计时器“测重力加速度”这一功能中，在电磁铁断电的时刻开始计时。小球通过第一个光电门时记录小球到达时间t1，小球到达第二个光电门时记录小球到达时间t2，计时器先后显示这两次的时间值。这类仪器有4个光电门、2个光电门、1个光电门等几种。立柱上有刻度，可读出对应时间小球的位移。画出x—t图象，图线为曲线。再画出x—t2图象，图线为通过原点的倾斜直线。可见，物体自由下落时，位移与时间的平方成正比，即x?t。
2应用链接 本节课的应用主要是极限思想的渗透，以及匀变速直线运动的位移公式、速度—位移关系式、某段位移中间位置的速度公式和有关比例关系的分析与计算。
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基础级 例1 物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时的速度为v，求位移为大？
提示 物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变。本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度—位移关系式求解。
2解析 由匀变速直线运动的速度—位移关系式v2?v0?2ax，又v0=0，可得v?2ax，即v?2x时的速度v’为多3x，
v?所以 ?v得位移为
x?x?x3x?3， 3x3时物体的速度 v??v。 332xv232 点悟 本题也可先由v?2ax，求得a?，再由v??2a，求得v??v。显然，采用比例
32x3法求解要简便一些。
例2 一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，后速度的大小变为10m/s。在这1s内该物体的（ ）
A. 位移的大小可能小于4m B. 位移的大小可能大于10m C. 加速度的大小可能小于4m/s2 D. 加速度的大小可能大于10m/s2
提示 分成匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况讨论。 解析 对于匀变速直线运动，有
x?v0?vv?v0t, a?， 2t选取初速度的方向为正方向，则v0=4m/s, 又t=1s。若物体做匀加速直线运动，则v=10m/s, 故
x?4?1010?4?1m=7m; a?m/s2=6m/s2； 21若物体做匀减速直线运动，则v=－10m/s, 故
x?4?10?10?4，
?1m=－3m; a?m/s2=－14m/s2， 21即位移、加速度的大小分别为3m、14m/s2，负号表示它们的方向与初速度方向相反。
可见，本题正确选项为A、D。
点悟 当物体的运动状态无法确认时，须根据可能情况分别加以讨论。要注意培养思维的广阔性，克服片面性。同时，要注意矢量的正负号仅表示方向，不表示大小。
例3 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为24ｍ和64ｍ，连续相等的时间为4ｓ，求质点的初速度和加速度大小。
提示 由匀变速直线运动的位移公式求解。
解析 两段连续相等的时间t=4s，通过的位移分别为x1=24m, x2=64m。设质点运动的初速度为v0，加速度为a，对前一过程和整个过程分别应用匀变速直线运动的位移公式，可得
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新人教版高中物理必修1匀变速直线运动的位移与时间的关系(1)
