基本初等函数性质及应用
题型一 求函数值 【题型要点解析】
已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化．
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例1．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
9A．(－∞，2] C．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]
2x?41111?1?【解析】 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝??99333??由于y
＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
【答案】 B
?3x2＋ln 1＋x2＋x，x≥0，例2．已知函数f(x)＝?若f(x－1) 22?3x＋ln 1＋x－x，x<0， 围为________． 【解析】 若x>0，则－x<0，f(－x)＝3(－x)2＋ln (1＋?－x?2＋x)＝3x2＋ln (1＋x2＋x)＝f(x)，同理可得，x<0时，f(－x)＝f(x)，且x＝0时，f(0)＝f(0)，所以f(x)是偶函数．因为当x>0时，函数f(x)单调递增，所以不等式f(x－1) 【答案】 (－∞，－2)∪(0，＋∞) 5 例3．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________. 2【解析】 ∵logab＋logba＝logab＋ 151 ＝，∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab 1 1，∴logab＝，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，即b2b＝bb2.∴2b＝b2，∴b＝2，a＝4. 2 1 基本初等函数性质及应用 【答案】 4；2 题组训练一 求函数值 1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a满足1 f(log2 a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的最小值是( ) 2 3 A. 21 C. 2 B．1 D．2 11 【解析】 loga＝－log2a，f(log2 a)＋f(log a)≤2f(1)，所以2f(log2 a)≤2f(1)，所以|log2 2211 a|≤1，解得≤a≤2，所以a的最小值是，故选C. 22 【答案】 C 2．若函数f(x)＝ax2－2a(a>0，a≠1)的图象恒过定点?x0,?，则函数f(x)在[0,3]上的最 － ??1?3?小值等于________． 【解析】令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，1?x－221 因此x0＝2，a＝，于是f(x)＝??3?－3，f(x)在R上单调递减，故函数f(x)在[0,3]上的最小31值为f(3)＝－. 3 1 【答案】 － 3 题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； 2 基本初等函数性质及应用 (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较； (3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小． ?43?25?13例1．已知a＝???1??1??1?，b＝??，c＝??，则( ) 2425??????B．b ?43?25?13A．a 【解析】 因为a＝??22 ＝4<5＝c，故b 【答案】 D 442?1??1??1?＝2，b＝??＝2，c＝?＝5，显然有b B．a>c>b D．b>a>c 【解析】 ∵a＝π3，b＝3π，c＝eπ，∴函数y＝xπ是R上的增函数，且3>e>1，∴3π>eπ，即b>c>1；设f(x)＝x3－3x，则f(3)＝0，∴x＝3是f(x)的零点，∵f′(x)＝3x2－3x·ln 3，∴f′(3)＝27－27ln 3<0，f′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数f(x)在(3,4)上是单调减函数，∴f(π) 【答案】 D 题组训练二 比较函数值大小 1．若a>b>1,0 B．abc 3
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