2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）
1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）
（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切； （2）解：连接OE，ED，
∵∠BAC＝60°，OE＝OA， ∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°，
又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO，
∴四边形OAED是菱形， ∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM， ∴S△AED＝S△AOD，
∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝
2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．
＝π．
（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵∠BAC＝∠BCE， ∴∠ACO＝∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO＝90°， ∴∠OCE＝90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接BD，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴
＝
，
∴AD＝BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴△ADB是等腰直角三角形， ∴AB＝
AD＝4，
∵BC＝3， ∴AC＝
＝
＝
．
3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．
（1）证明：连接OE． ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， 又∵∠DAE＝∠OAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴OE∥AD， ∴∠ADC＝∠OEC， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， 故∠OEC＝90°． ∴OE⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠C＝45°， ∴△OCE是等腰直角三角形， ∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°， ∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝
2×2﹣
＝2﹣
．
4．如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC垂足为D，弧AE＝弧AB，BE分别交
AD、AC于点F、G．
（1）判断△FAG的形状，并说明理由；
（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交
BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC． 解：（1）△FAG等腰三角形； 理由：∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形； （2）成立； ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠AGB＝90° ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形； （3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，
且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°， ∴∠BAD＝∠ABG， ∴AF＝BF， 又∵AF＝FG， ∴F为BG的中点 ∵△BAG为直角三角形， ∴AF＝BF＝BG＝13， ∵DF＝5，
∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8， ∴在Rt△BDF中，BD＝∴在Rt△BDA中，AB＝
＝12， ＝4
，
∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90° ∴△ABC∽△DBA， ∴∴∴BC＝
＝＝，
．
，
，
∴⊙O的直径BC＝
5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．
（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．
①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是 ∠QPB＝2∠AQP ； ②若BE＝BQ＝3，求BP的长；
（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆． ①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径； ②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径． 解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°， ∴BE＝AE＝EQ， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠QEB＝2∠EBP，
∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E， ∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA， ∴∠QPB＝2∠AQP， 故答案为：∠QPB＝2∠AQP； ②∵BE＝BQ，
∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ， ∴∠BPQ＝∠BQE， ∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ， ∴∴
， ，
∴BP＝
（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，
∵AP＝3，AB＝6， ∴BP＝3， ∴PQ＝∵OE⊥PQ， ∴QE＝PE＝∵cos∠PQB＝
， ＝
， ＝
＝
，
∴＝
∴OQ＝5， ∴⊙O的半径为5；
②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，
∴EQ＝PE＝，
∵BC是⊙O切线， ∴OQ⊥BC，且AB⊥BC， ∴OQ∥AB， ∴∠OQP＝∠BPQ，
∴cos∠OQP＝cos∠BPQ， ∴
，
∴
∴OQ＝；
如图3，若⊙O与AB相切于点P，连接OP，过点O作OE⊥PQ于E，
∴EQ＝PE＝，
∵AB是⊙O切线， ∴OP⊥AB，且AB⊥BC， ∴OP∥BC， ∴∠OPQ＝∠PQB， ∴cos∠OPQ＝cos∠PQB， ∴
∴∴OP＝5；
，
如图4，若⊙O与AD相切于点M，连接OM，OQ，OP，延长MO交BC于F，作OH⊥AB于H点，
∴OM⊥AD，且BC∥AD， ∴OF⊥BC，
∵∠A＝∠B＝∠AMO＝∠OFB＝∠OHB＝90°， ∴四边形AHOM，OHBF是矩形， ∴OM＝AH，OH＝BF，
∵OQ2＝OF2+FQ2，OP2＝OH2+PH2，
∴OQ2＝（6﹣OQ）2+（BF﹣1）2，OQ2＝BF2+（OQ﹣3）2， ∴OQ＝5﹣
若图5，若⊙O与CD相切于点N，连接ON，OQ，OP，延长NO交BC于E，作OH⊥BC于H点，
同理可得：OP2＝PE2+OE2，OQ2＝OH2+QH2，
∴OQ2＝（3﹣OH）2+（4﹣OQ）2，OQ2＝OH2+（4﹣OQ﹣1）2， ∴OQ＝35﹣6
．
6．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边
F处，连接AF，在AF上取一点O，以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P．AB＝6，BC＝
，
（1）求证：F是DC的中点． （2）求证：AE＝4CE． （3）求图中阴影部分的面积．
（1）证明：由折叠的性质可知，AF＝AB＝6， 在Rt△ADF中，DF＝∴CF＝DC﹣DF＝3，
∴DF＝FC，即F是CD的中点；
（2）证明：在Rt△ADF中，DF＝3，AF＝6， ∴∠DAF＝30?， ∴∠BAF＝60?，
由折叠的性质可知，∠EAF＝∠EAB，∠AFE＝∠B＝90°， ∴∠EAF＝∠EAB＝30°， ∴AE＝2EF，
∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝30?， ∴EF＝2CE， ∴AE＝4CE；
（3）解：连接OP、OH、PH， ∵⊙O与AD相切于点P， ∴OP⊥AD， ∴OP∥DF， ∵∠DAF＝30°，
∴∠AOP＝90°﹣∠DAF＝60°，OF＝OP＝OA， ∴∠OFH＝∠AOP＝60°，OP＝OF＝2， ∴AP＝∴DP＝AD﹣AP＝
＝2，
，
＝
＝3，
∵∠OFH＝60°，OH＝OF，
∴△OHF为等边三角形，
∴∠FOH＝∠OHF＝60°，HF＝OF＝2， ∴DH＝DF﹣HF＝1， ∵OP∥DF，
∴∠POH＝∠OHF＝60°， ∴∠POH＝∠HOF， ∴
＝
，
．
∴阴影部分的面积＝△PDH的面积＝×DH×DP＝
7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，连接BD． （1）求证：∠A＝∠CBD．
（2）若AB＝10，AD＝6，M为线段BC上一点，请写出一个BM的值，使得直线DM与⊙O相切，并说明理由．
（1）证明：∵AB为⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠A＝∠CBD； （2）BM＝理由如下：
．
如图，连接OD，DM，
∵∠ADB＝90°，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝
∵∠A＝∠CBD， ∵Rt△CBD∽Rt△BAD， ∴
＝
，即
＝，解得BC＝
＝8，OA＝5，
取BC的中点M，连接DM、OD，如图， ∵DM为Rt△BCD斜边BC的中线， ∴DM＝BM， ∵∠2＝∠4， ∵OB＝OD， ∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°，即∠ODM＝90°， ∴OD⊥DM， ∴DM为⊙O的切线， 此时BM＝BC＝
．
8．如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是∠DAB的平分线； （2）若AB＝10，AC＝4
，求AE的长．
（1）证明：连接OC， ∵直线MC与⊙O相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADM＝90°， ∴∠OCM＝∠ADM， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线； （2）解：连接BC，连接BE交OC于点F， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵AB＝10，AC＝4∴BC＝∵OC∥AD，
∴∠BFO＝∠AEB＝90°，
∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点， ∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB， ∴△CFB∽△BCA． ∴
＝
，即
＝
，
， ＝
＝2
，
解得，CF＝2， ∴OF＝OC﹣CF＝3．
∵O为直径AB中点，F为线段BE中点， ∴AE＝2OF＝6．
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF． （1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若CF＝5，tanA＝，求⊙O半径的长．
（1）证明：如图，连接OD． ∵点D是半圆的中点， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴∠ODC+∠OED＝90°， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD． 又∵CF＝EF， ∴∠FCE＝∠FEC． ∵∠FEC＝∠OED， ∴∠FCE＝∠OED．
∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°， 即FC⊥OC， ∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵tanA＝， ∴在Rt△ABC中，
＝，
∵∠ACB＝∠OCF＝90°， ∴∠ACO＝∠BCF＝∠A， ∵△ACF∽△CBF， ∴
＝
＝
＝．
∴AF＝10， ∴CF2＝BF?AF． ∴BF＝． ∴AO＝
＝
．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，∠B＝30°，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M． （1）求的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连结OE， ∵DE垂直OA，∠B＝30°， ∴CE＝DE＝3，
，
∴∠AOE＝2∠B＝60°， ∴∠CEO＝30°，OC＝OE， 由勾股定理得OE＝2（2）∵EM∥BD，
∴∠M＝∠B＝30°，∠M+∠AOE＝90°， ∴∠OEM＝90°，即OE⊥ME， ∴EM是⊙O的切线； （3）再连结OF，
当∠APD＝45°时，∠EDF＝45°， ∴∠EOF＝90°，
；
S阴影＝π（2
）2﹣（2）2＝3π﹣6．
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题： （1）求证：EF是△ABC外接圆的切线； （2）若BC＝5，sin∠ABC＝
，求EF的长．
（1）证明：补全图形如图所示， ∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点． 连接OE， ∴OE＝OB． ∴∠2＝∠3，
∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3． ∴OE∥BF． ∵EF⊥BF， ∴EF⊥OE，
∴EF是△ABC外接圆的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝∴
＝
．
，
∵AC2+BC2＝AB2， ∴AC＝12．
∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°， ∴四边形CFEH是矩形． ∴EF＝HC，∠EHC＝90°． ∴EF＝HC＝AC＝6．
12．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如：如图，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．
（1）若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 10 ，最小值为 6 ．
（2）如图1，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC＝12，DH＝7，CH＝9，求证：AB、CD互为“十字弦”；
（3）如图2，若⊙O的半径为5，一条弦AB＝8，弦CD是AB的“十字弦”，连接AD，若∠ADC＝60°，求弦CD的长．
解：（1）如图a，当CD是直径时，CD的长最大，则CD的最大值为10；
如图b，当点D与点A重合时，CD有最小值， 过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F， ∴AF＝BF＝4，DE＝CE， ∴OF＝
＝
＝3，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，∠CDB＝90°， ∴四边形CEOF是矩形， ∴CE＝OF＝3， ∴CD＝6， ∴CD最小值为6， 故答案为：10，6； （2）如图1，连接AD，
∵DH＝7，CH＝9， ∴CD＝16， ∵CD是直径， ∴∠CAD＝90°， ∴AD＝∵∴
，
＝
＝
＝4，
，
，∠ADH＝∠ADC，
∴△ADH∽△CDA， ∴∠AHD＝∠CAD＝90°， ∴AB⊥CD，
∴AB、CD互为“十字弦”；
（3）如图2，过点O作OE⊥CD于E，过点O作OF⊥AB于点F，连接AO，CO，过点O作
ON⊥AC于N，
∵∠ADC＝60°，AB⊥CD， ∴AF＝
DF，
∵OE⊥CD，OF⊥AB，AB⊥CD，
∴四边形OEHF是矩形，AF＝BF＝4，CE＝ED， ∴OF＝EH，
∵OF＝∴EH＝3，
＝＝3，
∴ED＝CE＝3+DH， ∴CF＝3+2DH，
∵∠AOC＝2∠ADC＝120°，且AO＝CO＝5，ON⊥AC， ∴∠CAO＝30°，AN＝CN， ∴NO＝，AN＝∴AC＝5
，
，
∵AH2+CH2＝AC2， ∴75＝3DH2+（3+2DH）2， ∴DH＝2
﹣，
﹣）＝
．
上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB∴CD＝2CE＝2（3+2
13．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在＝30°，设图中阴影部分的面积为y． （1）⊙O的半径为 4 ；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
解：（1）∵∠AOB＝2∠APB＝2×30°＝60°， 而OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形， ∴OA＝AB＝4， 即⊙O的半径为4； 故答案为4；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图，
则∠OHA＝∠OHB＝90° ∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°， ∵OA＝OB，OH⊥AB， ∴AH＝BH＝AB＝2，
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2， ∴OH＝∴y＝＝2x+π﹣4
＝2
，
+×4×x +4）．
﹣×4×2 （0＜x≤2
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为交BC的延长线于点E．
的中点，过点D作DE∥AC，
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CE＝
，AB＝6，求⊙O的半径．
（1）解：结论：DE与⊙O相切 证：连接OD
在⊙O中，∵D为∴
＝
，
的中点，
∴AD＝DC，
∵AD＝DC，点O是AC的中点， ∴OD⊥AC，
∴∠DOA＝∠DOC＝90°， ∵DE∥AC，
∴∠DOA＝∠ODE＝90°， ∵∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D， ∴DE与⊙O相切．
（2）解：连接BD．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， 又∵∠DCE+∠DCB＝180°， ∴∠DAB＝∠DCE，
∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵
＝
，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵DE∥AC，
∴∠DCA＝∠CDE＝45°， 在△ABD和△CDE中，
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°， ∴△ABD∽△CDE， ∴
＝
，
∴＝，
，
， ＝8，
∴AD＝DC＝4
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4∴AC＝
＝
∴⊙O的半径为4．
15．（1）如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（2）如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠A与∠BDC的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点M（1，0），N（4，0），点P在y轴上，试求当∠
MPN度数最大时点P的坐标．
解：（1）∠A＞∠BDC，理由如下： 设CD交⊙O于E，连接BE，如图1所示：
∠BEC＝∠BDC+∠DBE， ∴∠BEC＞∠BDC， ∵∠A＝∠BEC， ∴∠A＞∠BDC；
（2）∠A＜∠BDC，理由如下：
延长CD交⊙O于点F，连接BF，如图2所示：
∵∠BDC＝∠BFC+∠FBD， ∴∠BDC＞∠BFC， 又∵∠A＝∠BFC， ∴∠A＜∠BDC；
（3）由（1）、（2）可得：当点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点时，∠MPN度数最大，
①当点P在y轴的正半轴上时，如图3所示：
设⊙O′为点P是经过M、N两点的圆和y轴相切的切点的圆，
连接O′P、O′M、O′N，作O′H⊥MN于H，则四边形OPO′H是矩形，MH＝HN， ∴OP＝O′H，O′P＝OH＝O′M， ∵M（1，0），N（4，0）， ∴OM＝1，MN＝3， ∴MH＝HN＝MN＝， 设O′P＝OH＝O′M＝x，
MH＝OH﹣OM＝x﹣1，
∴x﹣1＝， ∴x＝， ∴O′H＝∴OP＝2，
∴点P的坐标为（0，2）；
②当点P在y轴的负半轴上时，如图4所示：
＝
＝2，
同理可得O′H＝OP＝2， ∴点P的坐标为（0，﹣2）；
综上所述，当∠MPN度数最大时点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）
