第八章 小波分析理论及应用
??t??L2?R?使得 ?j,k?2?j/2??2?jt?k?,k?Z (8.3-1)
必定是Vj内的一个标准正交基，其中??t?称为尺度函数。
式(8.3-1)中的系数2?j/2是为了使?j,k的L2范数为1。引入尺度函数的目的是为了构造正交小波基，图8.3-1(a)为一指数衰减、连续可微分的尺度函数，图(b)是其傅里叶变换。显然，尺度函数与低通滤波器的形状相同。
43210-1-2-10302520|FFT(phi)|-50n510phi(n)15105002040w6080
(a)尺度函数的图形 (b)尺度函数的傅里叶变换
图8.3-1 DB9尺度函数
??1,k:k?Z?是V?1的若??t?生成一个多分辨分析，那么??V0也属于V?1，并且因为???t??2?h?k???2t?k? (8.3-2)
k????一个Riesz基，所以存在唯一的l2序列?h(k)?，它描述尺度函数?的两尺度关系：
由性质（1）可知Vj?1?Vj,?j?Z，所以
Vj?Vj?1?Wj?1 (8.3-3)
反复应用式(8.3-3)，得
L2?R???Wj (8.3-4)
j?Z同样，象??t?生成V0一样，存在一个函数??t?生成闭子空间W0，且有与式(8.3-2)类似的
双尺度方程
??t??2?g?k???2t?k? (8.3-5)
k????
21
第八章 小波分析理论及应用
式(8.3-5)称为小波函数双尺度方程。由式(8.3-2)、(8.3-5)可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数?h(k)??,g(k)?的设计，若令H????k?????h?k?2e?j?k,G????k?????g?k??j?k，则e2把尺度函数和小波函数的设计可以归结为滤波器H???,G???的设计。构造正交小波时滤波器H???与G???必须满足以下三个条件：
H????H??????1 (8.3-6)
22G????G??????1 (8.3-7) H???G*????H???G*??????0 (8.3-8)
22
联合求解式(8.3-7)和(8.3-8)可得
G????e?j?H*????? (8.3-9)
由式(8.3-9)立刻可得
g?k????1?h*?1?k?,k?Z (8.3-10)
所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器H???。
1?k
8.3.2正交小波变换 式(2.2-7)式说明由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢？若存在是什么样的呢？ 这样的小波母函数是存在的，节8.3.1的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面先给出几个具有解析表达式的例子[9]。 Haar小波母函数：
1?1,0?t??2?1?h?t????1,?t?1
2??0,other??
Shannon小波母函数：
?1??1?sin??t???sin2??t???2??2???t??
?1???t???2?
Shannon小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的Haar小波母函数要优越，可是Haar系函数的支集是紧的，Shannon系的函数不仅不是紧支的，且当t??时趋于
22
第八章 小波分析理论及应用
?1?零的速度仅为???，故当用Shannon系对函数进行分解时，分解系数不能很好地反映
?t???信号的局部特征。 Haar小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方法，这就构成了由B样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数-B样条函数构造小波的方法[2]。下面式(8.3-11)给出一个用B样条构造的正交小波母函数的例子，是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里叶反变换获得，不过实际中只能通过数值运算获得其时域的函数图形。
???????16e?i?2?2?sin4?41?2sin2?4 (8.3-11)
???22???2??8sin4??1?sin??3?8sin4??44??3 Daubechies构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基，其对应
的滤波器是有限长的[10]。不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且，除Haar基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对称或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。下面是Daubechies小波滤波器的一个例子D4：(-0.129409522551,-0.224143868042,0.836516303738, -0.482962913145)。更多的例子请参见附录。
8.3.3 双正交小波变换 在图像处理中经常希望所用滤波器具有线性相位，Cohen、Daubechies等人放弃了小波、尺度函数的正交性，给出了构造具有对称性的双正交基的方法，这时对应的滤波器具有线性相位[11]。 取代小波函数、尺度函数的正交性的是所谓的双正交条件：
~?j,k,?j,n???k?n? (8.3-12)
~?j,k,???k?n? (8.3-13) m,n???j?m?此时相应的多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种：
?V2?V1?V0?V?1?V?2? (8.3-14) ~~~~~?V2?V1?V0?V?1?V?2?在双正交的条件下，子空间Vj与Wj不是正交补空间，但是若令~~:j,k?Z则有以下正交补的关系： Wj?close?j,k~~Vj?Wj,Vj?Wj (8.3-15)
??相应的双尺度方程为：
23
第八章 小波分析理论及应用
??t??2?h?k???2t?k?,??t??2?h?k???2t?k?
k?0k?02N?1~2N?1~~~?t??2??t??2?g?k???2t?k?,?k?02N?12N?1k?0~~?k???2t?k? (8.3-16) g?依据式(8.3-15)得
~?k????1?kh?2N?k?1??g?k~?g?k????1?h?2N?k?1?k?0,1,?,2N?1 (8.3-17)
所以，在设计双正交小波滤波器时，实际上只要设计两个尺度滤波器。有关双正交小波滤波器的例子请参见附录。
8.3.4 小波包变换 短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等Q滤波器组，语音、图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。当对某类信号，等宽和等Q滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合的滤波器，这就引出了小波包的概念。Coifman及Wickerhauser在多分辨分析的基础上提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。 小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是： 令
0??Uj?Vj,?1??Uj?Wjj?Z (8.3-18)
n 定义子空间Un而U2并令wn满j是函数wn?t?的闭包空间，j是函数w2n?t?的闭包空间，足如下双尺度方程：
w2n?t??2?h?k?wn?2t?k? (8.3-19)
kw2n?1?t??2?g?k?wn?2t?k? (8.3-20)
k式中g?k????1?kh?1?k?即两系数也具有正交关系。其等价表示是：
2n2n?1Un,j?1?Uj?Ujj?Z,n?Z? (8.3-21)
定义8.3-2（小波包）：由式(8.3-19)、(8.3-20)构造的序列?wn?n?Z?称为由基函数w0?t????t?
24
第八章 小波分析理论及应用
确定的小波包。
?mWj空间分解的子空间列可以写成U2,?,2l?1;l?1,2,?,j;j?1,2,?。若j?1，m?0,1ln是一个倍频程细划分的参数，即令n?2l?m，则有小波包的简略记号
?j,k,n?t??2?j/2?n?2?jt?k?，其中?n?t??2l/2w2?m?2lt?。与小波?j,k?t?相比较可知，小波
l包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数n，正是由于这个频率参数的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n表示?n?t?的零交叉个数，也就是其波形的振荡次数。
8.3.5 一维Mallat算法
Mallat在著名的用于图像分解的金字塔算法(Pyramidal algorithm)的启发下，结合多设f?t??L2?R?，并假定已得到f?t?在2?j分辨率下的粗糙象Ajf?Vj，Vj分辨分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为Mallat算法。
??j?Z构成
L2?R?的多分辨分析，从而有Vj?Vj?1?Wj?1，即
Ajf?Aj?1f?Dj?1f (8.3-22)
式中Ajf?于是
k????C?j,k?j,k?t?，Djf?k????D?j,k?j,k?t?，
k????C?j,k?j,k?t??k????C?j?1,k?j?1,k?t??k????D?j?1,k?j?1,k?t? (8.3-23)
由尺度函数的双尺度方程可得
?j?1,m?t??利用尺度函数的正交性，有
k????h?k?2m???t?
j,k??j?1,m,?j,k?h?k?2m? (8.3-24)
同理由小波函函数的双尺度方程可得
?j?1,m,?j,k?g?k?2m? (8.3-25)
由式(8.3-23)、(8.3-24)和(8.3-25)立即可得：
25
小波分析及其应用（精品教程）
