高考数学专题—立体几何（计算与动态问题） 一、体积计算 1、直接算 2、换顶点与底面 3、切割补
例1、(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC体积的最大值为( ) A.12√3 C.24√3 【答案】B
【解析】由△ABC为等边三角形且面积为9√3,设△ABC边长为a,则S=a·a=9√3.∴a=6,
22则△ABC的外接圆半径r=2×3a=2√3<4. 设球的半径为R,如图,OO1=√??2-??2=√42-(2√3)2=2.当D在O的正上方时,VD-ABC
B.18√3 D.54√3
1√3√32
=S△ABC·(R+|OO1|)=×9√3×6=18√3,最大.故选B.
3311
例2、【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为
14?R2,设酒杯上部分（圆柱）的体积为V1，下部分（半球）的体积为V2，则3V1? V2
A．2 【答案】A
B．
3 2C．1 D．
3 4【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为h，
球的半径为R，则酒杯下部分（半球）的表面积为2?R2， 酒杯内壁表面积为
14814?R2，得圆柱侧面积为?R2?2?R2??R2，
333832酒杯上部分（圆柱）的表面积为2?R?h??R，解得h?4R 3142???R3??R3 2334423酒杯上部分（圆柱）的体积V1??R?R??R
3343?RV13??2. 所以
V22?R33酒杯下部分（半球）的体积V2?故选A．
【点睛】本题考查球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积，属于中档题.
例3(2015·全国2·文T19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图: (2)作EM⊥AB,垂足为M, 则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确). 79例4、(2017·全国2·文T18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,
AB=BC=2AD,∠BAD=∠ABC=90°. (1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2√7,求四棱锥P-ABCD的体积.
1
97
【解析】(1)证明在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD. (2)解取AD的中点M,连接PM,CM.
由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形, 则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面 ABCD=AD,
所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD. 因为CM?底面ABCD,所以PM⊥CM.
设BC=x,则CM=x,CD=√2x,PM=√3x,PC=PD=2x.
1
2
高考数学专题—立体几何(动态问题)
