轨迹方程的经典求法
一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．
例2：在△ABC中，BC?24，AC，AB上的两条中线长度之和为39，求△ABC的重心的轨迹方程． 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有
2BM?CM??39?26．
3∴M点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 其中c?12，a?13．∴b?a2?c2?5．
∴所求△ABC的重心的轨迹方程为．
二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.
例1：已知点A(?2，，·PB?x2，则点P的轨迹是（ ） 0)B(3，0)，动点P(x，y)满足PA A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
?y)，PB?(3?x，?y)，·PB?x2，解析：由题知PA?(?2?x，由PA得(?2?x)(3?x)?y2?x2，即y2?x?6，
∴P点轨迹为抛物线．故选D．
三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.
例3：已知△ABC的顶点B(?3，， 0)C(1，0)，顶点A在抛物线y?x2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得∴??x0?3x?2， ①?y0?3y． ②
2 又∵A(x0，y0)在抛物线y?x2上，∴y0?x0． ③
4 将①，②代入③，得3y?(3x?2)2(y?0)，即所求曲线方程是y?3x2?4x?(y?0)．
3四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
1例5：已知A，B，D三点不在一条直线上，且A(?2，0)，B(2，0)，AD?2，AE?(AB?AD)．
2（1）求E点轨迹方程；
（2）过A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为及E点的轨迹相切，求椭圆方程．
4，且直线MN51解：（1）设E(x，y)，由AE?(AB?AD)知E为BD中点，易知D(2x?2，2y)．
2 又AD?2，则(2x?2?2)2?(2y)2?4． 即E点轨迹方程为x2?y2?1(y?0)； （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点(x0，y0)．
由题意设椭圆方程为，直线MN方程为y?k(x?2)． ∵直线MN及E点的轨迹相切，，解得．
x1?x2a2??将(x?2)代入椭圆方程并整理，得4(a?3)x?4ax?16a?3a?0，∴x0?， 22(a2?3)222241 / 6
6. 双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q及A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.
7. 已知双曲线=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，及y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q. (1)求直线A1P及A2Q交点M的轨迹方程；
(2)当m≠n时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.
3 / 6
高考动点轨迹方程的常用求法(含练习题及答案)
