专题13导数中的ATM找点法
函数中存在零点，通常我们寻找这个零点，需要用到二分法来卡根，就是当b elna?a，lneb?b，这两个等式，瞬间去掉了函数法则，就是指数函数里面加入对数，则把指数法则给去掉了，对数函数里面加入指数，则把对数法则给去了，这是找点的基本法则．ex我们先说e?ax的零点问题，参变分离可以得到a?，我们可以根据以下函数图像来分析．xx图13-1-1图13-1-2图13-1-3图13-1-4当a?0时，如图13-1-1，有仅有一个交点，我们需要找到那个比0小的点，显然f(x)?ex?ax当中，f(0)?1?a?0，我们需要找到一个x0，使得f(x0)?0，在这个过程中，一切都只能围绕着参数a做文章，111f(a)?e?a与f()?ea?1当中选取一个方案，显然选取f()更合适，更方便证明，f()?ea?1?0是aaaa211显而易见的；当然f(ln(?a))??a?aln(?a)??a(1?ln(?a))也因为不能证明恒负而不选取；当a?0时，显然无交点；当0?a?e时，显然也无交点，如图13-1-2，此时只需要找到最小值大于零即可，f(lna)?a?alna?a(1?lna)?0；当a?e时，如图13-1-3，唯一交点(1，e)，故f(1)?0；当a?e时，如图13-1-4，易知有两个交点，一个位于(0，1)，一个位于(1，??)，此时，指找对原理充分体现，f(0)?1?0，f(x)min?f(lna)?a?alna?a(1?lna)?0，或者f(1)?e?a?0，我们要找一个肯定比lna更大的点，显然lna2是一个可以使用的，f(lna2)?a2?alna2?a2(1?2lnalnx函数图)，根据h(x)?ax像可得，2lna2?，故f(lna2)?0，下面我们完善一下书写过程．ae【例1】讨论函数f(x)?ex?ax的零点个数．【解析】VXsczl1308420欢迎大家指正！280总结：找点的关键还是放缩思想，所谓放缩，就是你知道了答案才能用的，就好比本题关键在于找到点f(lna2)，倘若不知道2lna的最值，那么这个点就很难找到．之所以找点难度大，给人一种像雾像雨又像a风的感觉，其实本质还是要提前预知结果，然后构造以参数为变量的函数，好比你账户有了钱，要去提款，只需要去找一台ATM提款机，这种预知结果来反过来找点的方法叫做ATM找点法．我们接着来分析lnx?ax零点个数问题，a?lnx，我们通过图像来进行分析：x图13-1-5构造f(x)?lnx?ax，可知f?(x)?当a?当a?图13-1-6图13-1-7图13-1-811111．?a?0时，x?(a?0)，即f(x)max?f()?ln?1?lnxaaaae1111时，我们根据图13-1-5可知，无交点，此时我们只需要找到最大值，即f()?ln?1?ln?ln1?0；eaaae1时，如图12-1-6所示，有一个交点，此时f(e)?0；e1时，如图13-1-7所示，易知有两个交点，一个位于区间(1，e)，一个位于区间(e，??)，故e1ea当0?a?f(1)??a?0，f(e)?1?ae?0，我们不能选取一个无穷大的数，故此时指对互找的威力就显示出来，由于1e?e??aa1ea，故我们考虑f1(ea)1?a1?aea11e2exe2?(1?)?(1?)?0，这里用到了函数h(x)?2?h(2)?，1aa44x2a也可以考虑111111111111?2，即f(2)?ln2??2ln??(?alna?1)?(?1)?0，这里用到h(x)??xlnx?h()?，eeaaaaaaeaaa总之，找点的世界里，就是切线放缩，就是六大函数的最值选取．当a?0时，有仅有一个零点x?1；当a?0时，如图13-1-8所示，有一个交点在(0，1)之间，f(1)??a?0，显然我们不能找点找到f(0)，这时候首先考虑指对互找，显然0?ea?1，故f(ea)?a?aea?a(1?ea)?0；下面来完善此题道题的书写过程：【例2】讨论函数f?x??lnx?ax的零点个数．【解析】281我们接着来讨论lnx?a的零点问题，参变分离得a?xlnx，作出图像如下：x图13-1-9构造f(x)?lnx?图13-1-10图13-1-11图13-1-12a1a，可知f?(x)??2?0时，x??a(a?0)，即f(x)min?f(?a)?ln(?a)?1?ln(?ae)xxx当a?0时，如图13-1-9所示，有一个交点位于(1，+?)，f(1)??a?0，这时候首先考虑指对互找，显然ea?1，故f(ea)?a?1a1a1a，或者利用()；lnx?1??a(1?)?0f1?a?ln1?a??1???0????aax1?a1?a1?aee11如图13-1-10所示，有两个交点，一个位于区间(0，)，?a?0时，ee当a?0时，显然只有一个零点x?1；当?11一个位于区间(，1)，故f(1)??a?0，f()??1?ae?0(或者f(?a)?ln(?a)?1?ln(?ae)?0)，显然我们ee不能选取f(0)，由于0?a2??a，f(a2)?2ln(?a)?11121?(?2?(?a)?ln(?a)?1)?(?1)?0；当a??时，aaaee11如图13-1-11所示，有一个交点，此时f()?0；当a??时，如图13-1-12，我们考虑f(x)min?f(?a)?eeln(?ae)?ln1?0，无交点．下面我们来完善这道题的书写过程：a的零点个数．x【例3】讨论函数f(x)?lnx?【解析】VXsczl1308420欢迎大家指正！282找点问题，很多都可以用之前的三道例题的同构方式完成，我们来了解一下同构的几大形式：1．h(x)?1h(ln)h(lnx)xx?lnxxe????xlnx???1h(ln)x?????1xxxex?h(?x)?h(?x)?????x?????（六大函数之间同构）lnxxe1h(x?a)2．h(x)?xex?????(x?a)ex?a?????(x?a)ex（指数平移同构）h(x?a)ea3．h(x)?xex?????xh()n????h(x?a)x?aex?a?????eah(x?a)x?aex（指数平移同构）4．h(x)?xexxxh()nxnn??n??nx（指数次方同构）xnene5．h(x)?6．h(x)?h(xn)h(x)nxlnx????xnlnxn????xnlnxn（对数次方同构）lnxlnx????nxxh(xn)nh(xn)lnx??n??nx（对数次方同构）lnxh(enx)lnenxenh(enx)lnx?n7．h(x)?（对数乘法同构）?????n?????xxex【例4】讨论以下找点问题与之同构母函数的关系．（1）讨论f(x)?e2x?mx的零点个数；（2）讨论f(x)?lnx?mx的零点个数；（3）讨论f(x)?x?【解析】a 的零点个数．xe283第二讲高考中的找点发探源 【例5】（2018?新课标Ⅱ）已知函数f(x)?ex?ax2．（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1；（2）若f(x)在(0，??)只有一个零点，求a．【解析】【例6】（2017?新课标Ⅱ）已知函数f(x)?ax2?ax?xlnx，且f(x)?0．（1）求a；（2）证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2?f(x0)?2?2．【解析】法一法二【例7】（2017?新课标Ⅰ）已知函数f(x)?ae2x?(a?2)ex?x．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】（1）（2）法一法二总结：这道找点的好题算得上经典，在有两个零点的处理上，可以催生出很多可以找的点，比如f(?2)?0，3比如f(ln)?0，比如f(0)?0，找点无定法，放缩使关键．a284【例8】（2016?新课标Ⅲ）设函数f(x)?lnx?x?1．（1）讨论f(x)的单调性；（2）证明当x?(1，??)时，1?x?1?x；lnx（3）设c?1，证明当x?(0，1)时，1?(c?1)x?cx．【解析】（1）欢迎各位同仁指正！（2）证明（3）证明【例9】（2016?新课标Ⅰ）已知函数f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】（1）（2）法一法二总结：这道题是高考题当中必刷题，本人给到的两种方法均不是标准答案给出的，法一当中，因式分解成为了关键武器，类似例5，找点一定要降维思考，拆项和分解因式是一种常用技巧，而“指数找基友”则利用参变分离巧妙避开了找点，关于“指数找基友”，我们还会经常用到它，找点不是什么神秘绝招，而且方案很多，答案开放，动手反复操作，总能找到方向．所谓ATM找点，就是大胆放缩，大胆因式分解，大胆分类讨论知道大致区间，代入端点，特殊点，再考虑指对互找．下一讲三角函数的系列也要用到找点知识，相对而言，三角函数套路不如指对跨阶那么深，但总会难倒一群好汉，所以找点对于三角函数而言非常重要．285第三讲找点新题型——极值点与零点比大小 秒杀秘籍：构造成ex0－x1与1比大小或者lnx0－lnx1与0比大小在一些新题的压轴问，经常要证明x0?x1或者x0?x1，其中f(x0)?0，f(x1)?0，这种类型可以通过分离函数得到ex0?m(x0)，ex1?n(x1)，构造ex0?x1?造lnx0?m(x0)?n(x1)与0比大小．x1f?(x)，exm(x0)与1比大小，或者lnx0?m(x0)，lnx1?n(x1)，构n(x1)【例10】（2019?滨州期末）已知函数f(x)?ex(1?mlnx)，其中m?0，f?(x)为f(x)的导函数．设h(x)?且h(x)?5恒成立．2（1）求m的取值范围；（2）设函数f(x)的零点为x0，函数f'(x)的极小值点为x1，求证：x0?x1．【解析】（1）（2）法一法二法三总结：找点放缩很多时候都是因为知道答案后的必要探路，并非那种非它不可的绝招，很多时候可以巧妙绕过，相比之下，同构、切线和分而治之为什么被称为“三板斧”，就是因为非它们不可．【例11】（2020?茂名一模）设函数g(x)?lnx?aex，h(x)?axex，0?a?（1）求g(x)在x?1处的切线的一般式方程；（2）请判断g(x)与h(x)的图象有几个交点？（3）设x0为函数g(x)?h(x)的极值点，x1为g(x)与h(x)的图象一个交点的横坐标，且x1?x0，证明：3x0?x1?2．1．e【解析】（1）（2）法一法二（3）286【例12】（2019?湖北期末）已知函数f(x)?alnx?(x?1)ex，其中a为非零常数．（1）讨论f(x)的极值点个数，并说明理由；（2）若a?e．①证明：f(x)在区间(1，??)内有且仅有1个零点；②设x0为f(x)的极值点，x1为f(x)的零点且x1?1，求证：x0?2lnx0?x1．【解析】（1）（2）法一法二秒杀秘籍：两不同函数零点比大小求证x1?x0的问题，可f(x)?h(x)?m(x)?0与g(x)?h(x)?n(x)?0在区间(a，b)的零点分别为x0和x1，以转化为h(x)分别与m(x)和n(x)交点问题，利用数形结合，若满足h(x)?，且h(a)?m(a)?n(a)，则仅当m(x)?n(x)在区间(a，b)恒成立时，x1?x0，反之亦然．【例13】（2020?永州二模）已知函数f(x)?e1?x(x2?x?1)?1?x，g(x)?(2?x)ex?1?(3?x)ln(3?x)．证明：（1）存在唯一x0?(0，1)，使f(x0)?0；（2）存在唯一x1?(1，2)，使g(x1)?0，且对（1）中的x0，有x0?x1?2．【解析】（1）（2）法一（转换变量+对数单身狗）法二（分而治之）28782x【例14】（2014?辽宁）已知函数f(x)?(cosx?x)(??2x)?(sinx?1)，g(x)?3(x??)cosx?4(1?sinx)ln(3?)．3??证明：（1）存在唯一x0?(0，)，使f(x0)?0；2?（2）存在唯一x1?(，?)，使g(x1)?0，且对（1）中的x0，有x0?x1??．2【解析】（1）（2）法一（转换变量+对数单身狗）法二（分而治之+放缩）欢迎大家指正！阅读全部书籍请联系VXsczl1308420总结：例题13和14，利用对数单身狗的方式找点，能发现两个函数的零点或极值点有着一种内部公因式关系，是一步步计算后找到的套路规律，付出的代价就是计算和时间成本．任何一种题都不是单一的方法，使用分而治之中的天各一方，高观点低运算，必要时候放缩式子信手拈来，解题，也是一种江湖．288达标训练 1．（2019?东湖期末）已知函数f(x)?ex?lnx?2，下列说法正确的是①f(x)有且仅有一个极值点；③若f(x)极小值点为x0，则0?f(x0)?1；2．1?f(x0)?1．2②f(x)有零点；④若f(x)极小值点为x0，则x2?klnx，k?0．2．（2015?北京）设函数f(x)?2（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．【解析】13．（2019?桂平期末）已知函数f(x)?xex?a(x?1)2．2（1）若a?e，求f(x)的单调性；（2）若f(x)在区间(0，1)上有零点，求a的取值范围．【解析】2894．（2019?池州期末）设函数f(x)?x2?a(lnx?1)．（1）当a?1时，求y?f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）当a?【解析】2a时，判断函数f(x)在区间(0，)是否存在零点并证明．e25．（2014?新课标Ⅰ）设函数f(x)?alnx?（1）求b的值；（2）若存在x0?1，使得f(x0)?【解析】1?a2x?bx(a?1)，曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0．2a，求a的取值范围．a?12906．（2015?四川）已知函数f(x)??2(x?a)lnx?x2?2ax?2a2?a，其中a?0．（1）设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；（2）证明：存在a?(0，1)，使得f(x)?0在区间(1，??)内恒成立，且f(x)?0在(1，??)内有唯一解．【解析】7．（2019?东莞期末）已知函数f(x)?e2x?mx，x?(0，??)（其中e为自然对数的底数）．（1）求f(x)的单调性；（2）若m??2，g(x)?xa2x1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(0)?1?g(x0)xe，对于任意a?(0，22成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．【解析】2918．（2019?厦门期末）函数f(x)?x?logax(a?0，a?1)．（1）当a?3时，求方程f(x)?1的根的个数；（2）若f(x)?【解析】e恒成立，求a的取值范围．注：e?2.71828?为自然对数的底数a9．（2020?莆田期末）已知函数f(x)?axlnx?ax?1．（1）函数f(x)在x?1处的切线l过点(2，?2)，求l的方程；（2）若a?N*且函数f(x)有两个零点，求a的最小值．【解析】2922x2?1 ?alnx(a?R)．10．（2020?乌鲁木齐模拟）已知函数f(x)?x（1）若a?0时，讨论f(x)的单调性；（2）设g(x)?f(x)?2x，若g(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】2x11．（2020?漳州一模）已知函数f(x)??a(x?log2x)(a?R)．x（1）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)的导函数f?(x)在(1，4)上有三个零点，求实数a的取值范围．【解析】29312．（2019?潮州期末）已知函数f(x)?x?alnx(a?R)．（1）当a?0时，求函数f(x)的单调区间；（2）讨论函数f(x)的零点个数．【解析】13．（2019?安徽期末）已知函数f(x)?ax?a?lnx．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a?1，函数g(x)?xf(x)，证明：g(x)存在唯一的极大值点x0，且g(x0)?【解析】1．429414．（2019?惠州月考）已知实数a?0，设函数f(x)?eax?ax．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a?1a时，若对任意的x?[?1，??)，均有f(x)?(x2?1)，求a的取值范围．22注：e?2.71828?为自然对数的底数．【解析】15．（2020?河南一模）已知函数f(x)?xex?1?a(x?lnx)，a?R．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；23?x0)．（2）设x0是f(x)的极小值点，且f(x0)?0，证明：f(x0)?2(x0【解析】29516．（2019?秦州月考）已知函数g(x)?xlnx．（1）求g(x)的最小值．（2）若f(x)?x2?x?g(x)，求证：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e?2?f(x0)?2?2．【解析】17．（2020?安阳一模）已知直线y?x?1是曲线f(x)?alnx的切线．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若t?3?4ln2，证明：对于任意m?0，h(x)?mx?x?f(x)?t有且仅有一个零点．【解析】2962aex18．（2020?吕梁一模）已知函数f(x)?lnx??2(a?R)．xx（1）若a?0，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)在区间(0，2)内有两个极值点，求实数a的取值范围．【解析】119．（2020?天河区二模）已知函数f(x)??a(x?1)2?(x?2)ex(a?0)．2（1）讨论函数f(x)的单调性：1（2）若关于x的方程f(x)?a?0存在3个不相等的实数根，求实数a的取值范围．2【解析】29720．（2019?吉安期末）已知函数f(x)?(x?lnx?1)?eax，其中a?0．（1）当a?1时，求f(x)的单调区间；1（2）当函数f(x)在区间(，??)上有且只有2个极值点时，求a的取值范围．2【解析】21．（2019?芜湖期末）已知函数f(x)?ax?2x(a?1)．（1）当a?e时，求证：f(x)?lnx?2x?2；（2）讨论函数f(x)的零点个数．【解析】29822．（2019?开封期末）已知函数f(x)?x2?3x?alnx的一个极值点为2．（1）求函数f(x)的极值；（2）求证：函数f(x)有两个零点．【解析】23．（2020?乐山模拟）已知函数f(x)?(3m?2)ex?12x(m?R)．2（1）若x?0是函数f(x)的一个极值点，试讨论h(x)?blnx?f(x)(h?R)的单调性；（2）若f(x)在R上有且仅有一个零点，求m的取值范围．【解析】24．（2019?沙坪坝月考）已知函数f(x)?ex(1?alnx)，设f'(x)为f(x)的导函数．（1）设g(x)?e?xf(x)?x2?x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）若a?2时，函数f(x)的零点为x0，函f?(x)的极小值点为x1，求证：x0?x1．【解析】欢迎各位同仁指正！299
导数之极品找点法 - 图文
