2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1(1)lim(cosx)x?0ln(1?x2)?
.
(2)曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是(3)设x??ancosnx(???x??)，则a2=.
2n?0??1??1??1??1?2?????(4)从R的基?1??到基,????,??1?0?2??1??1?2??2??的过渡矩阵为????????.
?6x,0?x?y?1,(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??则P{X?Y?1}?
0,其他，?.
(6)已知一批零件的长度X(单位：cmcm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个
零件，得到长度的平均值为40(cm)，则?的置信度为的置信区间是(注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)
二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示， 则f(x)有()
(A)一个极小值点和两个极大值点. (B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.
(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有()
n??.
n??n??(A)an?bn对任意n成立.(B)bn?cn对任意n成立.
(C)极限limancn不存在.(D)极限limbncn不存在.
n??n??(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
x?0,y?0f(x,y)?xy?1，则() 222(x?y)(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. (4)设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则()
(A)当r?s时，向量组II必线性相关.(B)当r?s时，向量组II必线性相关. (C)当r?s时，向量组I必线性相关.(D)当r?s时，向量组I必线性相关. (5)设有齐次线性方程组Ax?0和Bx?0,其中A,B均为m?n矩阵，现有4个命题： ①若Ax?0的解均是Bx?0的解，则秩(A)?秩(B)； ②若秩(A)?秩(B)，则Ax?0的解均是Bx?0的解； ③若Ax?0与Bx?0同解，则秩(A)=秩(B)； ④若秩(A)=秩(B)，则Ax?0与Bx?0同解. 以上命题中正确的是() (A)①②.(B)①③. (C)②④.(D)③④.
1(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?2，则()
X(A)Y~?2(n).(B)Y~?2(n?1). (C)Y~F(n,1).(D)Y~F(1,n). 三、(本题满分10分)
过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形
D.
(1) 求D的面积A;
(2) 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、(本题满分12分)
?1?2x(?1)n将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.
1?2xn?02n?1五、(本题满分10分)
已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界.试证： (1)?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx;
LL(2)?xesinydy?ye?sinxdx?2?2.
L六、(本题满分10分)
某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为
k,k?0).汽锤第一次击打将桩打进地下am.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时
所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0?r?1).问 (1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？
(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ (注：m表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)
设函数y?y(x))在(??,??)内具有二阶导数，且y??0,x?x(y)是y?y(x)的反函数.
d2xdx(1)试将x?x(y)所满足的微分方程2?(y?sinx)()3?0变换为y?y(x)满足
dydy的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?八、(本题满分12分)
设函数f(x)连续且恒大于零，
3的解. 2???F(t)??(t)f(x2?y2?z2)dv2D(t)??f(x?y)d?2，G(t)?D(t)??f(x2?y2)d??t，
f(x)dx2?1其中?(t)?{(x,y,z)x2?y2?z2?t2}，D(t)?{(x,y)x2?y2?t2}.
(1)讨论F(t)在区间(0,??)内的单调性. (2)证明当t?0时，F(t)?九、(本题满分10分)
2?G(t).
?322??010??，P??101?，B?P?1A*P，求232设矩阵A??B?2E的特征值与特征???????223???001??向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1:ax?2by?3c?0，l2:bx?2cy?3a?0，l3:cx?2ay?3b?0.
试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0. 十一、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
(1)乙箱中次品件数X的数学期望；
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二、(本题满分8分)
设总体X的概率密度为
其中??0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn，记
(1)求总体X的分布函数F(x); (2)求统计量??的分布函数F??(x)；
(3)如果用??作为?的估计量，讨论它是否具有无偏性.
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题
1(1)【答案】
e【详解】方法1：求limu(x)v(x)型极限，一般先化为指数形式
然后求limv(x)lnu(x)，再回到指数上去．
12lncosx2lim(cosx)ln(1?x)=limeln(1?x)?ex?0x?0x?0ln(1?x2)limlncosx,
而
limlncosxln(1?cosx?1)cosx?1?lim?lim(等价无穷小替换ln(1?x):x)
x?0ln(1?x2)x?0x?0ln(1?x2)x21?x211?lim22??(等价无穷小替换1?cosx:x2) x?02x2故原式=e?12?1e.
1方法2：令y?(cosx)ln(1?x)，有lny?(2)【答案】2x?4y?z?5
2lncosx，以下同方法1． 2ln(1?x)【详解】由题意，只要满足所求切平面的法向量与已知平面的法向量平行即可．
平面2x?4y?z?0的法向量：n1?{2,4,?1}；
曲面z?x2?y2在点(x0,y0,z0)的法向量：n2?{zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1}?{2x0,2y0,?1} 由于n1//n2，因此有
22?y0?5. 可解得，x0?1,y0?2，相应地有z0?x0rrrr所求切平面过点(1,2,5)，法向量为：n2?{2,4,?1}，故所求的切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即2x?4y?z?5
r(3)【答案】1
【详解】将f(x)?x2(???x??)展开为余弦级数
f(x)?x??ancosnx(???x??)，其中an?2n?0?2???0f(x)cosnxdx．
所以a2?2???0x2?cos2xdx?1???01x2dsin2x?[x2sin2x????sin2x?2xdx] 00?3??2(4)【答案】???1?2??
??【详解】n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足
[?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，
因此过渡矩阵P为：
P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n]．
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