第一章 实数集与函数
导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 )
一、数学分析(mathematical analysis)简介:
1.背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入. 2.极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：
3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.
微积运算是高等数学的基本运算.
数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程：
1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.
2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.
4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点:
逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的
), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是
可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.
有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法:
1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:
[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.
2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.
3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.
4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.
五.要求、辅导及考试：
1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为 : 3。
对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.
2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.
3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.
4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题. 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.
第一章 实数集与函数
教学目的：
1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。 教学时数：10学时
§ 1 实数（2学时）
教学目的：使学生掌握实数的基本性质． 教学重点：
1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用． 教学方法：讲授．（部分内容自学） 一．复习引新： 1.实数集
：回顾中学中关于实数集的定义.
2.四则运算封闭性: 3.三歧性( 即有序性 ): 4.Rrchimedes性:
5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6.实数集的几何表示 ─── 数轴: 7.两实数相等的充要条件:
8.区间和邻域: 二. 讲授新课：
（一）. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义
[1]P3 的六个不等式.
2. 其他不等式: ⑴
记
⑵ 均值不等式: 对
(算术平均值)
(几何平均值)
(调和平均值)
有平均值不等式:
等号当且仅当
时成立.
⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)
有不等式
当
且 ,
且
时, 有严格不等式
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
