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课时达标检测(十三） 函数模型及应用
[练基础小题——强化运算能力]
1．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg(其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的________倍．
II0
II176
解析：由η＝10 lg得I＝I01010，所以I1＝I010，I2＝I010，所以＝10，所以70 dB
I0I2
的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
答案：10
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 2017年5月1日 2017年5月15日 加油量(升) 12 48 加油时的累计里程(千米) 35 000 35 600 ?注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
3．(2024·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是________．
解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．
答案：9
4．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题 1
2
2
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1．(2024·德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p(单位：毫克/升)不断减少，已知p与时间t(单位：小时)满足p(t)＝p02－，其中p0
30为t＝0时的污染物数量．又测得当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，则p(60)＝________毫克/升．
1
p0－p02
解析：因为当t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝，30－0所以p0＝600ln 2，因为p(t)＝p02－，所以p(60)＝600ln 2×2＝150ln 2(毫克/升)．
30
答案：150ln 2
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108. 答案：108
3．(2024·江苏南通诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝ae.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为________．
4
1nt5n解析：∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝ae满足f(5)＝ae＝a，
211a?1??1?可得n＝ln，所以f(t)＝a·??5，设k min后甲桶中的水只有L，则f(k)＝a·??5＝524?2??2?
tknttt－2
aa4
，所以
k?1?5＝1，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．
?2?4??
答案：5
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．
解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150× (－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元．
答案：10
2
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5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
解析：设2017年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(120lg 2－lg 1.30.30－0.1119nn＋12%)＞200，得1.12＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴
13lg 1.120.055
n≥4，∴从2024年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
答案：2024年
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．
解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，21?21?2
所以可得利润y＝4.1x－0.1x＋2(16－x)＝－0.1x＋2.1x＋32＝－0.1?x－?＋0.1×
2?4?
2
2
2
2
＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
答案：43
7.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
20－xy－85
解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
2024－84
55522
所以阴影部分的面积S＝xy＝(24－y)·y＝(－y＋24y)＝－(y－12)＋180(0＜y＜
44424)．
所以当y＝12时，S有最大值为180. 答案：180
8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA(a为常数)，广告效应为D＝aA－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
1?1?21222
解析：令t＝A(t≥0)，则A＝t，∴D＝at－t＝－?t－a?＋a.∴当t＝a，即A＝
2?2?412
a时，D取得最大值． 4
12
答案：a
43
江苏专版2024版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测十三函数模型及应用20
