选修4－1 几何证明选讲
考点整合
1．(1)相似三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． (2)相似三角形的性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 3．(1)圆内接四边形的性质定理： ①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
类型一 三角形相似及应用
[例1] (2016·高考全国甲卷)如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DE＝DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.
(1)证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB＝1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
解：(1)证明：因为DF⊥CE，所以△DEF∽△CDF，则有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB，
DFDEDG＝＝， CFCDCB所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF，
因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F四点共圆．
(2)由B，C，G，F四点共圆，CG⊥CB知FG⊥FB.如图，连接GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍，
111
即S＝2S△GCB＝2×××1＝.
222
[解后反思] 本题在证明四点共圆之后，不要试图在已知图形中画出圆，而要通过想象圆的位置，利用圆的性质进行解题，否则可能会由于图形过于复杂而影响解题思路．
1．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和圆O分别交于D和E两点．
(1)求证：＝； (2)求AD·AE的值．
解：(1)证明：∵PA为圆O的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P为公共角，
ABPAACPC
高考数学二轮复习第3部分几何证明选讲考点整合选修4_1文
