海伦公式的妙用

海伦公式的妙用

舒云水

本文谈妙用海伦公式解决一类椭圆问题﹒

x2y2如图1，椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1，F2，过

ab椭圆上不与顶点重合的任一点A作通过F1的弦AB，连接AF2，BF2，易知?AF1F2，?BF1F2的周长相等，周长为定值2(a?c)﹒

图1

根据海伦公式S?p(p?m)(p?n)(p?t)（其中m，n，t为三角形三边的长度，其中p?S?AF1F2S?BF1F2?m?n?t）可得： 2?(p?AF1)(p?AF2)(p?BF1)(p?BF2)p(p?F1F2)(p?AF1)(p?AF2)p(p?F1F2)(p?BF1)(p?BF2)?AF1BF1

又

S?AF1F2S?BF1F2，

(p?AF1)(p?AF2)(p?BF1)(p?BF2)所以有：

AF1BF1?﹒ （1）

利用（1）式，我们可以简便地解决一些涉及“AF1??BF1”的椭圆问题，下面列举两例﹒

例1 设椭圆?的两个焦点分别是F1、F2，过F1的直线与?与交

于点P、Q﹒若PF2?F1F2，3PF1?4QF1，则椭圆?的短轴与长轴的比值为 ﹒

F1P

QF2

图2

解：如图2，连接QF2﹒不妨设PF1?4，QF1?3，记椭圆?的长轴、短轴的长度分别为2a、2b，焦距为2c，则PF2?F1F2?2c﹒易知

QF2?2c?1﹒

?PF1F2，?QF1F2的半周长p?2c?2﹒

根据上面（1）式得

(2c?2?4)(2c?2?2c)(2c?2?3)(2c?2?2c?1)?4﹒ 3化简得：c?1?2﹒

2c?13平方化简求得：c?5﹒

进而易得a?7，b?26，因此椭圆?的短轴与长轴的比值为

26. 7x2y23例2 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F

ab2且斜率为k(k?0)的直线与C相交于A、B两点，若AF?3FB，则k?

A． 1 B． 2 C． 3 D． 2

yF1BxoFA

图3

解：如图3，记椭圆的左焦点为F1，不妨设c?3，BF?m，AF?3m，则a?2，BF1?4?m，AF1?4?3m﹒

?AFF1，?BFF1的半周长p?a?c?2?3﹒ 根据上面（1）式得

(3?2?m)(2?3?m)(3?2?3m)(2?3?3m)?1﹒ 3整理得

[3?(m?2)][3?(m?2)][3?(3m?2)][3?(3m?2)]?1﹒ 3计算、平方得：

3?(m?2)21﹒ ?3?(3m?2)29化简求得：m?﹒

?AFF1的三边长度分别为：AF?1，AF1?3，F1F2?23﹒根据余

13弦定理得

cos?F1FA?(23)2?12?322?23?12?3， 3?3?6??sin?F1FA?1??﹒ ?3?3??因为?F1FA等于直线AB的倾斜角，