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学会配凑即“分k”，“走过”k到k+1
用数学归纳法证明命题的第二步从k到k+1的过渡中，即证n=k+1命题成立时，必须用上“n=k”的归纳假设，而要用归纳假设即“用k”就必须对“n=k+1”的形式进行变形，从而合理、有效地配凑出归纳假设的形式即分离出“n=k”的形式来，我们把这一变形称之为“配凑”即“分k”。然而，由于学习经验的储备不足和时限等因素的原故，相当一部分学生在用数学归纳法证明命题到第二步时就无法继续进行了，其原因之一就是不会“配凑”即“分k”，导致不能顺利实现从“k到k+1”的过渡。
经验告诉我们，要想顺利实现从“k到k+1”的过渡，就必需学会“配凑”即“分k”，怎样“配凑”即“分k”呢？现举例说明如下（含探寻过程）：
例1：若a≠b，a，b∈R，n∈N*，n≥2，试用数学归纳法证明：f(n)=2n-1(an+bn)>(a+b)n. 证明：当n=2时命题成立证略；
假设当n=k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f(k)=2k-1(ak+bk)>(a+b)k，
则n=k+1时，f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)，此时证明命题成立，就是要证：f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)>(a+b)k+1， 按要求，从“n=k”到“n=k+1”即证明f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)>(a+b)k+1必需用归纳假设f(k)=2k-1(ak+bk)>(a+b)k， 即必须使f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)出现f(k)=2k-1(ak+bk)，因此，必须对f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)进行合理地变形，先配凑出归纳假设，即f(k)=2k-1(ak+bk)来，
怎样才能使f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)出现f(k)=2k-1(ak+bk)呢？ 策略：“配凑”即“分k”，“配凑”即“分k”： f(k+1)=2k(ak+1+bk+1)=
例2：求证：当n(n≥1)为奇数时，f(n)=xn+yn能被x+y整除. 证明：当n=1时证明略.
假设当n=2k-1(k≥1，k∈Z)时命题成立，即f(2k-1)=x2k-1+y2k-1能被x+y整除，则 当n=2k+1时，f(2k+1)=x2k+1+y2k+1，此时证明命题成立，就是要证：
f(2k+1)=x2k+1+y2k+1能被x+y，按要求，证f(2k+1)=x2k+1+y2k+1能被x+y必需用归纳假设f(2k-1)=x2k-1+y2k-1。因此，必须对f(2k+1)=x2k+1+y2k+1进行合理变形，使之出现归纳假设f(2k-1)=x2k-1+y2k-1，怎样才能使f(2k+1)=x2k+1+y2k+1出现f(2k-1)=x2k-1+y2k-1呢？
策略：“配凑”即“分k”，“配凑”即“分k”如下：
f(2k+1)=x2k+1+y2k+1=x2·x2k-1+y2·y2k-1= x2(x2k-1+ y2k-1- y2k-1)+ y2·y2k-1 = x2(x2k-1+ y2k-1)+ y2k-1(y2-x2)
而y2k-1(y2-x2)能被x+y整除，由归纳假设知x2(x2k-1+ y2k-1)+ y2k-1(y2-x2)能被x+y整除，即f(2k+1)=x2k+1+y2k+1能被x+y整除，亦即n=2k+1时命题成立，下略.
例3：用数学归纳法证明：f(n)=xn-nan-1x+(n-1)an能被(x-a)2整除(n≥2，n∈N*). 证明：当n=2时证明略.
假设当n=k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即f(k)=xk-kak-1x+(k-1)ak能被(x-a)2整除(?xk=f(k)+ kak-1x-(k-1)ak，则
当n=k+1时，f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1，
此时证明命题成立，就是要证f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1能被(x-a)2整除，按要求证f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1能被(x-a)2整除，必须用归纳假设：f(k)=xk-kak-1x+(k-1)ak能被(x-a)2整除，因此，必须对f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1进行合理变形，使之出现归纳假设的形式f(k)=xk-kak-1x+(k-1)ak，怎样才能使f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1出现f(k)=xk-kak-1x+(k-1)ak呢？
策略：“配凑”即“分k”，
注意到xk+1=x·xk，而xk可由归纳假设得来，故可“配凑”即“分k”如下：
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f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1= x·xk-(k+1)akx+kak+1=x[f(k)+kak-1x-(k-1)ak]-(k+1)akx+kak+1 = xf(k)+k ak-1(x2-2ax+a2)= xf(k)+ k ak-1(x-a)2
显然，由归纳假设知xf(k)+ k ak-1(x-a)2能被(x-a)2，即
f(k+1)=xk+1-(k+1)akx+kak+1能被(x-a)2整除，亦即n=k+1时命题成立，下略.
例4：设n是正整数，求证：f(n)=(3n+1)·7n-1能被9整除. 证明：当n=1时证明略.
假设当n=k(k≥1，n∈N*)时命题成立，即f(k)=(3k+1)·7k-1能被9整除，则
当n=k+1时，f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1，此时证明命题成立，就是要证：f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1能被9整除，按要求证f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1能被9整除，必须用归纳假设“f(k)=(3k+1)·7k-1能被9整除”.
因此，必须对f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1进行合理变形，使之出现归纳假设的形式f(k)=(3k+1)·7k-1，怎样才能使f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1出现归纳假设的形式呢？
策略：“配凑”即“分k”
注意到7k+1=7·7k，故可“配凑”即“分k”如下：
f(k+1)=[(3k+3)+1]·7k+1-1=[(3k+1)+3]·7·7k-1=7·(3k+1)·7k+21·7k-1 =[(3k+1)·7k-1]+6·(3k+1)·7k+21·7k=[(3k+1)·7k-1]+18k·7k+27·7k =[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k，
由归纳假设可知f(k)=(3k+1)·7k-1能被9整除，显然有9(2k+3)·7k能被9整除，即f(k+1)=[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除，亦即n?k?1时命题成立，下略. 例5：证明对于整数n≥0，An=11n+2+122n+1能被133整除.
证明：当n=0时证明略.
假设当n=k(k≥0，k∈N*时命题成立，即An=11k+2+122k+1能被133整除，则
当n=k+1时，Ak+1=11k+3+122k+3，此时证明命题成立，就是要证：Ak+1=11k+3+122k+3
能被133整除，按要求，Ak+1=11k+3+122k+3能被133整除，必须用归纳假设An=11k+2+122k+1能被133整除，因此，必须对Ak+1=11k+3+122k+3进行合理变形，使之出现归纳假设形式An=11k+2+122k+1，怎样才能使Ak+1=11k+3+122k+3出现An=11k+2+122k+1呢？
策略：“配凑”即“分k”，“配凑”即“分k”如下：
Ak+1=11k+3+122k+3=11·11k+2+122·122k+1=11·(11k+2+122k+1-122k+1)+ 122·122k+1 =11·(11k+2+122k+1)+ 122k+1(122-11)= 11·Ak+133·122k+1
由归纳假设知：11·Ak+133·122k+1能被133整除，即Ak+1=11k+3+122k+3能被133整除，亦即n=k+1时命题成立，下略.
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人教版数学备课资料例说数学归纳法中的配凑.
