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第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法
常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍
§9.1 降阶
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方
d2ydy 2＋p(x) ＋q(x)y＝0 (9.1)
dxdx设已知其一个非零特解y１ y＝uy1 (9.2)
其中u＝u(x)
dydudy1 ＝y1＋u
dxdxdxd2yd2ud2y1dudy1求二阶导数有2＝y12＋2＋u2
dxdxdxdxdx代入(9.1)
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d2ud2y1dy1dudy1 y12＋（2＋p(x)y1）＋(2＋p(x)
dxdxdxdxdx＋q(x)y1)u＝0 (9.3)
这是一个关于u的二阶线性齐次方程，各项系数是x的已知函数，因为y1是(9.1)
d2y1dy1 2＋p(x) ＋q(x)y1≡0
dxdx故(9.3) d2udy1du y12＋(2＋p(x)y1) ＝0
dxdxdxdy再作变量替换，令＝z
dxdzdy1 y1＋(2＋p(x)y1)z＝0
dxdx
12分离变量 dz＝－[＋p(x)］dx
zy1
C2－∫p(x)dx
z＝2e
y1 其中C2
1－∫p(x)dx
积分得u＝C2∫2edx＋C1代回原变量得(9.1)
y1
1－∫p(x)dx
y＝y1［C１＋C2∫2edx
y1
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此式称为二阶线性方程的刘维尔(
Liouville)
综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个
y＝y1∫zdx
对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影
d2y2dysinx例1. 已知y１＝是方程2＋＋y＝0的
dxxxdx 解 作变换 y＝y1∫zdx
dydy1则有 ＝y1z＋∫zdx
dxdxd2yd2y1dzdy1＝y1＋2z＋2∫zdx 2dxdxdxdx代入原方程，并注意到y1
dzdy1dy1 y1＋(2＋)z＝0
dxdxdxdz即 ＝－２ctanx·z
dxC1积分得 z＝2
sinxC1sinx于是 y ＝y1∫zdx＝［∫2dx＋C2
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(整理)二阶变系数线性微分方程的一些解法.
