《数学分析原理》. Walter.Rudin [M].北京：机械工业出版社，2004
第五章 微 分 法
本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数，这并不是为了方便，当我们从实函数转到向量函数的时候，就会看到本质的差别，定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。 实函数的导数
5.1 定义 设f是定义在[a，b]上的实值函数，对于任意的x∈[a，b]，做（差）商
然后定义
（1）
（2）
但是这里要由定义4.1可假设等式右端的极限存在。
于是与f相联系得到函数f’，它的定义域是[a，b]中所有使极限（2）存在的x点的集，f’叫做f的导函数。
如果f’在x点有定义，就说f在x点可微。如果f’在集E?[a，b]的每一点有定义，就说f在E上可微。
可以在（2）中考虑左极限或右极限，从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a，b上，在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。
如果f定义在（a，b）上，并有a 5.2 定理 设f定义在[a，b]上，若f在[a，b]上任意一点x皆可微，则f在x点连续。 证 由 定 理 4.4 ， 当 时 定理的逆命题不成立。在某些孤立点不可微的连续函数式不难构造的。在第7章我们甚至还能得到一个在整条直线上都连续但处处不可微的函数。 5.3 定理 设f和g定义在[a，b]上，且都在点x∈[a，b]可微，那么f+g，fg，f/g也都 在x点可微，且： 在c中我们自然要假设g（x）≠ 0 证 由定理4.4，（a）显然成立 令h=fg，则 再两端同除以t-x，再注意当时（定理5.2）。（b）得证。 再令h=f/g，那么 令，再应用定理4.4及定理5.2，就可以得到（c）。 5.4 例 显然任何常数的异数皆为0.若f定义为f（x）=x，则f’=1。反复运用（b）和(c)就可以证明xn是可微的，导函数为nxn-1，这里的n是任意整数，且n<0是必须x≠0.由此，每个多项式都是可微的，所以任一有理函数除掉那些使分母为零的点后也是可微的。 下一条定理通常被称为微分法的“链式法则”，用来求复合函数的导数，它也许是求导数的最重要的定理。在第9章还将看到它的更普遍的表述。 5.5 定理 设f在[a，b]上连续，f’（x）在[a，b]上的某点x存在，g定义在一个包含f值域的区间I上，又在点f（x）处可微。若 则h在x点可微，且有 证 设y=f（x），由导数定义，知道 这里t∈[a，b]，s∈I，并且当时，，当 现在令s=f（t），先用（5），再用（4）就可以得到 （4） （5） 时 。 （3） 设t≠x， 由于f的连续性，知道当就得到了（3）式。 5.6 例 （a）设f定义为 时， （6） ，于是（6）右端趋于g’(y)f’(x)，这 （7） 先承认的导函数是（我们在第8章里讨论三角函数）。当x≠0时我们 可以运用定理5.3及定理5.5，得到 （8） 在x=0点，由于1/x无定义，就不能使用这两个定理了，现在直接按导数定义来计 算，对于t≠0 当t?0时，这不能趋于任何极限，所以f’(0)不存在。 （b）设f定义为 （9） 同上我们可以求得 在x=0，按导数定义计算，得到 （10） 令t?0，就知道 （11） 所以f在所有点x可微，但是f＇不是连续函数，这是因为（10） 式右端第二 项cos（1/x），当x?0时不趋于任何极限。 中值定理 定义 设f是定义在度量空间X上的实值函数，称f在点p?X取得局部极大值，如果存在着?>0，当d（p，q） 局部极小值可以类似定义。 下面的定理是导数的许多应用的基础。 5.8 定理 设f定义在[a，b]上；x?[a，b]，如果f在x点取得局部极大值而且 f＇（x）存在，那么f＇(x)=0。 对于局部极小值的类似的命题，自然也是对的。 证 按照定义5.7选取?，那么 若是x-? 令t?x，便知道f＇(x)≥0 若是x 这又将表示f＇（ｘ）≤０，所以ｆ＇（ｘ）=0。 5.9 定理 设 f是[a，b]上的连续函数，它们在（a，b）中可微，那么便有一 点x∈（a，b），使得 注意：并不要求在区间端点上可微。 证 ： 令 那么h在[a，b]上连续，在（a，b）内可微，且 （12） 要证明本定理，就得证明在某点x∈（a，b），h＇（ｘ）=0。 若果h是常数，那么不论在哪一点x∈（a，b），都有h＇（ｘ）=0。如果某个t∈（a，b）使得h（t）>h（a），设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，x∈（a，b），于是定理5.8说明h＇（x）=0。如果有某个t∈（a，b）使得 h（t） 这个定理常常叫做一般中值定理；下面的特殊情形就是通常所说的种植定理。 5.10 定理 设f是定义在[a，b]上的实连续函数，在（a，b）内可微，那么一定有一点x∈（a，b），使得 证 在定理5.9中取g（x）=x即得。 5.11 定理 设f在（a，b）内可微， （a）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）≥0，那么f便是单调递增的。 （b）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）=0，那么f便是常数。 （c）如果对于所有的x∈（a，b），f＇（x）≦0，那么f便是单调递减的。 证 所有结论都可以从下列等式获得： 这等式对于（a，b）中的任意一对点x1，x2，都成立，而x是x1与x2之间的某个 点。 导数的连续性 我们已经看到（例5.6（b））一个函数f可以有处处存在、但在某些点间断 的导数f＇（x）。可是，并不是每个函数都一定可以看做是某个函数的导函数。特别的一点事，在一个闭区间上处处存在的导函数与闭区间上的连续函数之间，却有一个重要的共同性质：任何中间值都能取到。确切的表述是： 5.12 定理 设 f是[a，b]上的实值可微函数，再设f＇（a） 么必有一点x∈（a，b）使f＇（x）=?。 对于f＇（a）>f＇(b)的情形，当然也有类似的结果。 证 令g（t）=f（t）-?t。于是g＇（a）<0，从而有某个t1∈（a，b）使 得g（t1） 因此，根据定理4.16，g在（a，b）的某点x上达到它在[a，b]上的最小值。再根 据定理5.8，g＇（x）=0，因而f＇（x）=?。 推论 如果 f 在[a，b]上可微，那么f＇在[a，b]上便不能有一类间断点。 但是f＇很可能有第二类间断点。 L＇Ｈospital 法则 下面的定理在求极限时时常用到。 5.13 定理 假设实函数f和g在（a，b）内可微，而且对于所有x∈（a， b）， g＇（x）≠0。这里-∞≤a f'(x)→A, (13) g'(x) 如果 当x→a时，f（x）→0，g（x）→0， （14） 或是 当x→a时，g（x）→+∞, (15) 那么 当x→a时， f(x)→A . (16) g(x) 如果是x→b,或者(15)中如果是g(x)→-∞,各种类似的叙述自然也都是 正确的。注意，我们现在是按照定义4.33推广了的意义来使用极限概念的。 证 先考虑-∞≤A≤+∞的情形。选择一个实数q使A A f'(x) f(x)?f(y)f'(x)= g(x)?g(y)g'(x) 先看（14）成立的情形.在（18）中令x→a，便看到 f(x)≤r y），使a f(x)g(y)f(y) f(x)
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