正弦定理余弦定理综合应用,解三角形经典例题

课程目标 掌握解三角形的题型 课程重点 正弦定理余弦定理综合应用，解三角形 课程难点 正弦定理余弦定理综合应用 教学方法建议 在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练。复习与总结同时进行，逐步掌握解三角形的方法。 课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A类 （ 3）道 （ 2）道 （ 5 ）道 选材程度及数量 B类 （ 5 ）道 （ 4 ）道 （10 ）道 C类 （ 3 ）道 （ 3）道 （ 5）道

一、知识梳理

1．内角和定理：

在?ABC中，A?B?C??；sin(A?B)?sinC；cos(A?B)??cosC

111S?ABC?absinC?bcsinA?acsinB222面积公式:

在三角形中大边对大角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

abc???2RsinAsinBsinC形式一： (解三角形的重要工具)

?a?2RsinA??b?2RsinB?c?2RsinC?形式二：

(边角转化的重要工具)

形式三：a:b:c?sinA:sinB:sinC

sinA?形式四：

abc,sinB?,sinC?2R2R2R

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

222a?b?c?2bccosA 形式一：

b2?c2?a2?2cacosB (解三角形的重要工具)

c2?a2?b2?2abcosC

形式二：

b2?c2?a2cosA?2bc a2?c2?b2cosB?2ac a2?b2?c2cosC?2ab

二、方法归纳

abc?? (1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=π及sinAsinBsinC，可求出角C，再求b、c.

222

(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

ab? (4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinAsinB，求出另一边b的对角B，由

acab??C=π-(A+B)，求出c，再由sinAsinC求出C，而通过sinAsinB求B时，可能出一解，两

解或无解的情况，其判断方法，如下表：

A>90° 一解 无解 A=90° 一解 无解 无解 a>bsinA a=bsinA ab a=b a

a=bsinA有一解 b>a>bsinA有两解 a≥b 有一解 a>b有一解

三、课堂精讲例题

问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在?ABC中，若b?5，?B??152,sinA?，则a? . 433【例2】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c. 【解析】 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解. 由正弦定理得sinA=

33sin45?asinB= =,

2b2则A为60°或120°.

①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=

6?22sin(45??30?)2sin75?bsinC===.

2sin45?sin45?sinB②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,