高等传热学问题及答案
1. 简述三种基本传热方式的传热机理并用公式表达传热定律；传热问题的边界条件有哪两类？
2. 有限元法求解传热问题的基本思想是什么？基本求解步骤有哪些？同有限差分方法相比其优点是什么？
3. 什么是形函数？形函数的两个最基本特征是什么？ 4. 加权余量法是建立有限元代数方程的基本方法，请描述四种常见形式并用公式表达。 5. 特征伽辽金法（CG）在处理对流换热问题时遇到什么困难？特征分离法（CBS）处理对流换热问题的基本思想是什么？
第一题：
（1）热传导
dTqx??kdx傅里叶定律：（公式） 传热传导模式是因为从一个分子到另一个分子的能量交换，没有分子的实际运动，如果自
由电子存在，也可能因为自由电子的运动。因此，这种形式的热输送在很大程度上取决于介质的性质，如果存在温度差，热传导发生在固体，液体和气体。 书上补充：
当两个物体有温差，或者物体内部有温度差时，在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，物体微粒（分子，原子或自由电子）的热运动传递了热量。 （2）热对流
q?h?Tw?Ta?（牛顿冷却定律）
存在于液体和气体中的分子具有运动的自由，它们随身携带的能量（热量），从热区域移动到冷区域。由于在液体或气体的宏观运动，热量传递从一个地区到另一个地方 ,加上流体内的热传导能量传递,称为对流换热。对流可能是自然对流、强制对流，或混合对流。 百度补充：
对流仅发生于流体中，它是指由于流体的宏观运动使流体各部分之间发生相对位移而导致的热量传递过程。由于流体间各部分是相互接触的，除了流体的整体运动所带来的热对流之外，还伴生有由于流体的微观粒子运动造成的热传导。在工程上，常见的是流体流经固体表面时的热量传递过程，称之为对流传热。
（3）辐射
q???Tw4（斯蒂藩-玻耳兹曼定律）
任何（所有）物体和任何（所有）温度都能产生热辐射。（绝对零度以上）这是唯一一种发生热传递不需要介质的方式。热辐射本质上是从物体的表面发射电磁波，由电磁波携带能量进行能量传输。（即物体通过电磁波传递能量）。当这些电磁波传送到物体表面上，一部分被反射，一部分被传送，剩下的部分被物体吸收。
解决方法： 与解析解不同，数值解使温度的测量只在离散点进行。任何数值分析的第一步是选择这些点。这是通过将有关的区域划分为若干较小的区域。这些区域由离散点联系起来（受点约束）。这些参考点称为节点，其组装结果是网格。最需要注意的是。每个节点代表节点周围一个特定的区域,并且节点的温度用来估量在该区域的温度分布。
许多工程系统可以简化细分成组件或元。这些元可以很容易的从第一原理进行分析,通过将这些元组装在一起, 可以重建一个完整的原始系统的分析。我们称这种系统为离散系统。
离散系统的分析步骤：
步骤1:系统的理想化:将系统理想化为元件的组装。
步骤2:单元（元件）特征:每个元件的特征被发现于原始变量
步骤3:组装:通过组装未知状态变量的元件的特征，形成一组联立方程 步骤4:解决方程:由一些被选定的点的原始变量确定联立方程的解。
第二题：
有限元求解传热问题的基本思想：是分与合，分是将连续求解域划分为单元，对单元进行单元分析，和则是为了集合单元，组装单元，对连续求解域（整体）进行分析。 将连续的求解系统离散为由一组由节点相互连在一起的单元组合体，在每个单元内分单元求解温度场。
有限元法的基本思想是分段逼近，即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限元)后再对每个子域用简单函数近似求解，最后得到复杂问题的解：因此，最必要的步骤是为每一个单元的解选择一个简单的函数，用以表示单元内位移形状的这种函数称为位移函数，由于以下原因，多项式形式的位移函数用得最为广泛． (1)用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于进行微分和积分。
将连续求解区域看作是只在节点处相连接的一组有限个单元的组合体，把节点温度作为基本未知量，然后用插值函数以节点温度表示单元内任意一点处温度，利用变分原理建立用以求解节点未知量（温度）的有限元法方程，通过求解这些方程组，得到求解域内有限个离散点上的温度近似解，并以这些温度近似解代替实际物体内连续的温度分布．随着单元数目的增加，单元尺寸的减小，单元满足收敛要求，近似解就可收敛于精确解． 通过有限元分析解决连续问题的过程方案： 1.离散连续介质（结构的离散化）
2.选择插值方法或形函数（差值形函数）
3.写出（列出）与元件有关等式（单元分析，列方程）
4.将元件的方程进行组合，以获得系统的联立方程（组装方程，主要是刚度矩阵组装，） 5.求解系统方程（求解联立方程，从边界条件入手，计算未知量T） 6.计算二次量，如从求得的温度计算热流等。是一个回代过程。
有限差分法是一种行之有效，概念简单的方法，它需要点态（逐点）逼近控制方程。该模型，通过为一大批网格点写差分方程形成，可以通过增加点的数量来改善。虽然许多传热问题可以采用有限差分方法求解，当遇到不规则的几何形状和的一个不寻常的边界条件规范，有限差分法变得难以使用。
有限体积法是一种更精确的版本的有限差分法和计算流体动力学成为流行。顶点为中心的有限体积法对线性有限元法很相似。
有限元法认为，求解域包含许多小的，相互关联的子区域或元素，并给出了一个分段近似控制方程，即，复杂的偏微分方程简化化为线性或非线性方程组。因此，有限元离散（即，划分区域成多个更小的区域）的过程简化了具有无限多的未知元的连续问题，将其转化为一个在指定点称为节具有有限数量的未知元的问题。有限元方法允许我们将连续离散，在某种的意义上说，一个复杂区域的边界近似表示是可能的。 适用于复杂的几何形状和边界条件。
大多数在流体动力学和热传输问题所使用的有限差分法可以被看作是加权余量框架内的特殊案例。对于加权余量的过程，守恒方程的近似解的误差没有被设置为零，而其积分，相对于选定的“权重”，需要消失（为零）。在这个中,搭配方法再现了经典的有限差分方程,而有限体积算法通过使用恒定的“权”获得。
元：在求解区域内的一些小区域
第三题：
形函数：被用来表示每个元件内的的求解方法的本质的函数，又称作插值函数，或基函数。形函数定义于单元内部的、坐标的连续函数。是指实际上尝试函数代表一种单元上近似解的插值关系它决定近似解在单元上的形状因此尝试函数在有限员发中又称为形函数。
多项式型函数已被最广泛使用的，因为它可被容易地集成，或分化，且结果的精度可通过增加多项式的阶得到改善。
形函数的两个基本要求
在指定的节点的值为一，所有其他节点的值为零。（具有统一在指定的节点和零的所有其他节点的值）
一个元素中的所有形函数之和等于1。
1） 在节点i处，Ni=1；在其他节点处，Ni=0； 2） 应满足下列等式：ΣNi=1。
形函数阶次越高，单元形状就越复杂，单元适应能力也越强，求解应力问题时所需单元数量也越少，因此平衡方程组也越少，因此平衡方程组的阶次较低，求解方程组的时间较少。但
是形函数的阶次提高后，建立刚度矩阵的运算较复杂，因此对于每一特定的问题，都有一个最适合的形函数阶次，它能够使总的计算时间最经济。这一般需要根据计算经验决定。
在简要描述上下文中在有限元分析的中所使用的各种元件，我们现在将我们的注意力集中于确定所述元件特征，即，用下面的矩阵方程的形式来表示未知节点和相应的负载或力之间的关系即
?K??T???f?
K热刚度矩阵，T未知温度矢量f 热载荷
几种方法可用于判定一个给定的问题的近似解。我们将在第一时间考虑三种方法。 1. 里兹法（热平衡积分法）
试探函数,必须是连续可微的，最高阶出现在控制方程的积分形式中。 2. 瑞利里兹法（变分法） 函数T（x），极值处的变分积分对应的控制微分方程（称为欧拉方程）是原控制微分方程和边界条件的解决方案。
如果一个物体具有两种材料时，通过在该点处的两种材料需要符合的原始微分方程，可能不存在温度的二阶导数。 在这种情况下，该问题的变分提法将容易产生精确的解，因为在本例中的二阶导数是不需要的。因为这个原因，一个物理问题的变分公式经常被称为弱形式。 3. 加权余量法。
对插值函数的要求：（当我们细化网格时） （1）协调性：（兼容性，对于单元之间） 在单元的交界面，场变量T的I (T )中的最高阶导数是m阶，则m-1 阶偏导数必须是连续的。Cm-1，连续性。 （2）完备性：
所有的均匀态T及I (T )最高阶导数是应有一定的代表性，则有限元解收敛的条件之一是选取单元内的温度场函数至少是m阶完全多项式。
兼容性：
在元素的交界面，场变量T及其偏导数的一阶低于最高阶导数出现在I (T )必须是连续的。 完整性：
所有的均匀态T及其偏导数的到最高阶导数I (T )应有一定的代表性，有限元的尺寸减小到零。
对于兼容性：在元件交界面（接口）处，必须具备Cr阶连续性。 对于完整性：在元件内：必须具备Cr+1阶连续性。
第四题
第五题：
对流方程的数值解必须处理除了扩散外的对流部分的控制方程。类似于伽辽金的方法，在处理对流问题时，如果特定的参数超过Pe数的值时，计算结果在空间上会产生寄生震荡。在有限差分法中，寄生震荡通过一系列叫做逆风格式的离散方法被减少，或者说被抑制了，。 CG(特征伽辽金)和TG（泰勒伽辽金法）在处理标量变量问题时是一样的。 特征伽辽金法对解决动量方程是十分困难的。
为了将这一概念应用于实际对流方程，对在前面的讨论对流扩散方程的–节特征伽辽金过程的理解是非常重要。与对流扩散方程不同，动量方程，是一组的热对流方程的一部分，是一个矢量方程。直接对特征伽辽金方法进行扩展来解决动量方程是困难的。为了使特征辽金方法适用于动量方程，我们就来介绍两个步骤。
在第一步中，动量方程中的压力项将会被舍弃，并对中间速度场进行计算。第二步中，中间速度场将会被校正。在对待动量方程时，这两个步骤具有两个优点。第一个优点是没有压力项，动量方程的每个组件类似于对流扩散方程，可以很容易应用特征伽辽金方法。 第二个优点是，除去动量方程中的压力项，提高了压力的稳定性，并允许对压力和速度使用任意的插值函数。换句话说，满足了Babuska-Brezzi条件。由于方程中引入分割,该方法被称为基于特征的分割(CBS)方法。 矩阵形式CBS方法的四个步骤: 1.中间速度计算: 2.压力计算 3.速度更正: 4.温度计算:
5、掌握迦辽金加权余量法的计算。
高等传热学
