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数学分析题库（1-22章）
五．证明题
1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：
（1）对任何a?A,b?B有a?b；
（2）对任何??0，存在x?A,y?B，使得Y?x??. 证明：supA?infB. 2.设A，B是非空数集，记S?A?B，证明：
（1）supS?max?supA,supB?； （2）infS?min?infA,infB? 3. 按??N定义证明
5n2?n?25lim? n??3n2?234.如何用ε-N方法给出liman?a的正面陈述？并验证|n2|和|(?1)n|是发散数列.
n??5.用???方法验证：
x2?x?2lim??3. x?1x(x2?3x?2)6． 用??M方法验证：
x???limxx2?1?x??1. 27 . 设lim?(x)?a，在x0某邻域U?(x0;?1)内?(x)?a，又limf(t)?A.证明
x?x0t?ax?x0limf(?(x))?A.
8.设f(x)在点x0的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列?xn?，
（1）xn?U?(x0)，xn?x0，
（2）0?xn?1?x0?xn?x0，都有limf(xn)?A，
n??则limf(x)?A.
x?x09. 证明函数
?x3,x为有理数， f(x)??0,x为无理数?在x0?0处连续，但是在x0?0处不连续.
.
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10.设f(x)在（0，1）内有定义，且函数exf(x)与e?f(x)在（0，1）内是递增的，试证f(x)在（0，1）内连续.
11. 试证函数y?sinx2，在[0,??)上是不一致连续的.
12. 设函数f(x)在（a,b）内连续，且limf(x)=limf(x)=0，证明f(x)在（a,b）内有最
x?a?x?b?大值或最小值.
13. 证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数f(x)是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.
14 . 证明：若f(x)在点a处可导，f（x）在点a处可导.
15. 设函数f(x)在(a,b)内可导，在[a,b]上连续，且导函数f?(x)严格递增，若
f(a)?f(b)证明，对一切x?(a,b)均有
f(x) 16. 设函数f(x)在[a,??]内可导，并且f(a)<0，试证：若当x?(a,??)时，有 f?(x)>c>0则存在唯一的??(a,??)使得f(?)?0，又若把条件f?(x)>c减弱为f/(x)>0(a 17. 证明不等式 x2e?1?x?2x(x?0) 18.设f为(??,??)上的连续函数，对所有x,f(x)?0，且limf(x)?limf(x)?0， x???x???证明f(x)必能取到最大值. 19. 若函数f(x)在[0,1]上二阶可导, 且f(0)?0，f(1)?1，f?(0)?f?(1)?0，则存在 c?(0,1)使得|f??(c)|?2. 20. 应用函数的单调性证明 2x?sinx?x,x?(0,); ?2?1?m?xsin,x?021. 设函数f(x)?? （m为实数）， x?x?0?0,试问： . 精品文档 （1）m等于何值时，f在x?0连续； （2）m等于何值时，f在x?0可导； （3）m等于何值时，f?在x?0连续； 22. 设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件f(x)?a，f??(x)?b， 其中a,b都是非负常数，c是(0,1)内的任一点，证明 f?(c)?2a?b 223. 设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在??(a,b)使得 a?b(b?a)2f(b)?2f()?f(a)?f??(?) 2424. 若f(x)在点x0的某个领域上有(n?1)阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式. 25. 用泰勒公式证明:设函数f(x)在?a,b?上连续,在?a,b?内二阶可导,则存在??(a,b),使得 a?b(b?a)2''f(b)?2f()?f(a)?f(?). 2426. 设函数f(x)在?0,2?上二阶可导,且在?0,2?上f(x)?1,f''(x)?1.证明在?0,2?上成立 f''(x)?2. 27. 设f是开区间I上的凸函数,则对任何??,???I,f在?,?上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在L>0,对任何x,x???,??,成立 '''f(x')?f(x)''?Lx'?x''. 28. 设f(x)在 [a,??]??(a?0)上满足Lipschitz条件：|f(x)?f(y)|?k|x?y|, 证明 f(x)在[a,??]上一致连续. x 29. 试证明方程x?xnn?11?????x?1在区间(,1)内有唯一实根。 2.
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