最新编辑 解答：
解：由约束条件
作出可行域如图，
化目标函数z=x+y为由图可知，当直线此时
．
，
过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．
故答案为：1．
点评： 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．（5分）（2014?北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 粗加工 精加工 时间 原料 原料A 9 15 原料B 6 21
则最短交货期为 42 个工作日．
考点： 算法的特点．
专题： 应用题；函数的性质及应用．
分析： 先完成B的加工，再完成A的加工即可．
解答： 解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完
成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日． 故答案为：42．
点评： 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）（2014?北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．
考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；
（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．
解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得
.
最新编辑 d===3．
∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）， 设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q3=
=
=8，∴q=2，
﹣
﹣
∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn1=2n1，
﹣
∴bn=3n+2n1（n=1，2，…）．
﹣
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2n1（n=1，2，…）．
∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2n1}的前n项和为1×
﹣
=2n﹣1，
∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2n﹣1．
点评： 本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题．
16．（13分）（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x+
）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
，﹣
]上的最大值和最小值．
考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：
（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x∈[﹣
，﹣]可得2x+∈[﹣，0]，由三角
函数的性质可得最值．
解答：
解：（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+∴f（x）的最小正周期T=
），
=π，
；
可知y0为函数的最大值3，x0=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴2x+
∈[﹣
，﹣，0]，
]，
.
最新编辑 ∴当2x+当2x+
=
=0，即x=
，即x=﹣
时，f（x）取最大值0， 时，f（x）取最小值﹣3
点评： 本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． 17．（14分）（2014?北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．
考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；
（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．
解答： （Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，
∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B， ∴AB⊥B1BCC1， ∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥B1BCC1；
（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则 ∵F是BC的中点，
∴FG∥AC，FG=AC，
∵E是A1C1的中点， ∴FG∥EC1，FG=EC1，
∴四边形FGEC1为平行四边形， ∴C1F∥EG，
∵C1F?平面ABE，EG?平面ABE， ∴C1F∥平面ABE；
（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AB=， ∴VE﹣ABC=
=
=
.
最新编辑
点评： 本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定
理是关键．
18．（13分）（2014?北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 分组 频
数
1 [0，2） 6 2 [2，4） 8 3 [4，6） 17 4 [6，8） 22 5 [8，10） 25 6 [10，12） 12 7 [12，14） 6 8 [14，16） 2 9 [16，18） 2 合计 100
（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；
（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）
考点： 频率分布直方图；频率分布表． 专题： 计算题；概率与统计． 分析：
（Ⅰ）根据频率分布表求出周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=
求频率；
（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；
（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．
.
最新编辑 解答： 解：（Ⅰ）由频率分布表知：周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90，
∴周课外阅读时间少于12小时的频率为
=0.9；
（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；
数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；
（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时），
∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．
点评： 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距
=
．
19．（14分）（2014?北京）已知椭圆C：x2+2y2=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
考点： 椭圆的简单性质；两点间的距离公式． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：
（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为
，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．
解答：
解：（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为，
∴a=2，b=
，c=
，
∴椭圆C的离心率e==
；
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴
=0，
∴tx0+y0=0，∴t=﹣，
∵
，
∴|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=
+4≥4+4=8，
当且仅当
，即x02=4时等号成立，
∴线段AB长度的最小值为2．
点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．（13分）（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；
.
2014年北京市高考数学试卷（文科）
