类型三 其他探究题
例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
例2、请阅读下列材料
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′PC是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求出等边△ABC的边长为7．问题得到解决．
B F C B C B 图3
C E G E F A D
A G E F D
A D
图1
图2
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=5，BP=2，PC=1．求
2
∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．
图1 图2
图3
例3、如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结 QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
（3）已知线段AB=23，设BP=x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．
例4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒１个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；
2
Q
A
E B
F 图1
P C Q
A
E B F P
图2
C
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形
1的面积是△ONC面积的3？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
例5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.
(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；
(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．
OCyyNBCBPMAxO（备用图）
Ax
2
类型三 其他探究题-2020年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)
