第6节 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函1
数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要
2的函数模型；4.了解指数函数y＝a(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果a＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①a(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaM＝nlogaM(n∈R).
logaN(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0).
logab3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
nlogNxxa＝N；②logaa＝b(a>0，且a≠1).
bMN a>1 0 当x>1时，y<0； 当0 1 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1). logba(2)logamb＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. nxnm?1?3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，?，－1?，函数图a? ? 象只在第一、四象限. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log2x＝2log2x.( ) (2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( ) 1＋x(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( ) 1－x(4)当x>1时，若logax>logbx，则a (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错. 2 2 (4)若0 2.(新教材必修第一册P127T3改编)log29×log34＋2log510＋log50.25＝( ) A.0 B.2 2 C.4 D.6 解析 原式＝2log23×(2log32)＋log5(10×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6. 答案 D 11 3.(老教材必修1P73T3改编)已知a＝23，b＝log2，c＝log1，则( ) 323 1 － A.a>b>c C.c>b>a B.a>c>b D.c>a>b 1 解析 ∵0 23∴c>a>b. 答案 D 4.(2018·全国Ⅲ卷)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( ) A.a＋b B.ab 11 解析 由题设，得＝log0.30.2>0，＝log0.32<0. ab11a＋b∴0<＋＝log0.30.4<1，即0<<1. abab又a>0，b<0，故ab 5.(2019·武汉月考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a>1，c>1 B.a>1，0 C.0 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0 6.(2020·河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时， f(x)＝log2(－x)＋m，且f??＝2，则m＝________. 2 ?1??? ?1?解析 由f??＝2，且f(x)为奇函数. ?2? 1?1??1?∴f?－?＝－f??＝－2，因此log2＋m＝－2，则m＝1－2. 2?2??2?答案 1－2 考点一 对数的运算 11ab【例1】 (1)设2＝5＝m，且＋＝2，则m等于( ) abA.10 B.10 2 C.20 D.100 （1－log63）＋log62·log618 (2)计算：＝________. log64解析 (1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 1111则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. ablog2mlog5m解得m＝10. 62 1－2log63＋（log63）＋log6·log6（6×3） 3 (2)原式＝ log641－2log63＋（log63）＋1－（log63）＝ log64＝ 2（1－log63）log66－log63log62 ＝＝＝1. 2log62log62log62 2 2 答案 (1)A (2)1 规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.a＝N?b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)(2019·北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗5E1 星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星 2E2等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.10 10.1 b B.10.1 C.lg 10.1 D.10 －10.1 5ba(2)(多填题)已知a>b>1，若logab＋logba＝，a＝b，则a＝________，b＝________. 25E1 解析 (1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg ＝－1.45－(－26.7)＝ 2E225.25. E12E110.1 所以lg ＝25.25×＝10.1，即＝10. E25E2 15 (2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝， t2所以t＝2，则a＝b.又a＝b， 所以b＝bb，即2b＝b， 又a>b>1，解得b＝2，a＝4. 答案 (1)A (2)4 2 考点二 对数函数的图象及应用 【例2】 (1)(2020·南昌调研)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a与函数g(x)＝logbx的图象可能是( ) －x2b2 2 2 ba ??log2x，x>0， (2)已知函数f(x)＝?x且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数 ?3，x≤0，?
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第6节对数与对数函数教学案含解析新人教A版
