第二部分 专题四 类型一
1．(2018·湖北)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值． (1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边为中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°. ∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB.
(2)解：如答图，作点E关于直线AC的对称点E′，连接BE′交AC于点
H，连接AE′，则点H即为符合条件的点．由作图可知EH＋BH＝BE′，AE′
＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝30°，
∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形， 1
∴EE′＝EA＝AB，∴∠AE′B＝90°.
2在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3， ∴AB＝23，AE′＝AE＝3， ∴BE′＝AB－AE′＝∴BH＋EH的最小值为3.
2．(2018·徐州)如图，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折叠在边AC上(不与A，C重合)，折痕为EF，点B在
2
2
23
2
－3
2
＝3，
AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF.已知BC＝4.
(1)若M为AC的中点，求CF的长； (2)随着点M在边AC上取不同的位置， ①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由； ②求△PFM的周长的取值范围． 解：(1)∵M为AC的中点， 11
∴CM＝AC＝BC＝2，
22
1
由折叠的性质可知，FB＝FM， 设CF＝x，则FB＝FM＝4－x，
在Rt△CFM中，FM2＝CF2＋CM2，即(4－x)2＝x2＋22
，解得，x＝332，即CF＝2. (2)①△PFM的形状是等腰直角三角形，不会发生变化，理由如下： 令FM与CD交于点D，由折叠的性质可知，∠PMF＝∠B＝45°. ∵CD是中垂线，∴∠ACD＝∠DCF＝45°. ∵∠MPC＝∠OPM，∴△POM∽△PMC， ∴PO＝OMMCOMPMMC，∴PM＝
PO. ∵∠EMC＝∠AEM＋∠A＝∠CMF＋∠EMF， ∴∠AEM＝∠CMF.
∵∠DPE＋∠AEM＝90°，∠CMF＋∠MFC＝90°，∠DPE＝∠MPC， ∴∠DPE＝∠MFC，∠MPC＝∠MFC. ∵∠PCM＝∠OCF＝45°， ∴△MPC∽△OFC，∴MP＝MCOFOC， ∴MC＝OCOMOCPMOF，∴PO＝
OF.∵∠POF＝∠MOC，
∴△POF∽△MOC，∴∠PFO＝∠MCO＝45°， ∴△PFM是等腰直角三角形．
②∵△PFM是等腰直角三角形，设FM＝y， 由勾股定理可知PF＝PM＝
22
y， ∴△PFM的周长为(1＋2)y. ∵2＜y＜4，
∴△PFM的周长的取值范围为2＋22＜(1＋2)y＜4＋42.
2
江西专用2019中考数学总复习第二部分专题综合强化专题四特殊图形的计算与证明类型1针对训练
