第37届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答
（2024年9月19日9:00-12:00）
一、
（1）依题意，空气弹簧主气室对簧上负载竖直向上的作用力为
??????????????????????????????????F?(p1?p0)Ae??????????????????????????????????????????????????①?式中，p1是主气室内空气的压强。
当空气弹簧承受的负载发生变化时，主气室内气体的压强p1和体积V1均会发生变化。为了统一处理题给的两种情形，考虑气体压强和体积变化的过程方程为
??????????????????????????pn
1V1?常量??????????????????????????????????????????????????式中，n是常数。①式左右两边对空气弹簧承载面的竖直位移y微商，可知空气弹簧的劲度系数K满足
???????????????????????????K?
dFdy?(pdAdp
1?p0)edy?1dy
Ae???????????????????????????????????②式左右两边对y微商得
??????????????????????????????????
dp1dyVn1dV
1?kp1Vn?11dy?0????????????????????????????????????????由题意知，空气弹簧主气室内体积V1和有效承载面积Ae相对于平衡位置的竖直位移的变化率为
dV1dy???, dA
edy
?? 联立①③④⑤式得，空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为
n K??kp10V10
??V10?n?Vk?1Ae???p10???p0? 1
??V1??
在高铁上下乘客的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足等温过程
n?1 由⑥⑦式得
K??p10V10V2Ae???pV1010?p?0? 1??V 1?
在列车运行中遇到强烈颠簸的情形下，主气室内气体压强和体积变化满足绝热过程
n?? 式中，?是空气的定压摩尔热容Cp与定容摩尔热容CV之比
??C7
pC?CV?R?2R?7
VCV
5 R52
由⑥⑨式得
K??7p7/510V10
5V12/5Ae????p?V7/510?10???p?0? 1
??V1??
第?1?页?,?共?16?页?
②
③ ④ ⑤
⑦ ⑧ ⑨ ⑩
? ????????? ⑥ （2）主气室连通附加气室后，如果车辆振动频率较低，例如情形i），空气弹簧变形较慢，可认为在任意瞬间，空气弹簧主气室的压强与附加气室的压强相同，两气室间的压强差可视为零。两气室的空气作为一个整体，经历等温过程。空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系
K??p10?V10?V2??V
1
?V2?2
?V?V2?
Ae???p1010?p0? ?
?V1?V2?
，车辆系统的振动频率较高，空气弹簧主气室内部的压力和体积变化较快，主气室与附加气室之间 对于情形ii）
来不及进行气体流动，此时空气弹簧的容积相当于主气室容积单独作用，经历绝热过程。空气弹簧的劲度系数K与其有效承载面积Ae之间的关系为
7/5??V10?7/5?7p10V10
App K??????10??e0? ?
V5V112/5
??1??
评分标准： 本题共40分。
第（1）问32分，①②③④式各3分，⑤式2分，⑥式4分，⑦式2分，⑧式4分，⑨⑩式各2分，?式4分； 第（2）问8分，??式各4分。
二、
（1）对击球过程应用刚体质心运动的动量定理，有
????????????????????① ??????????????????????????????????????P?mu0?0???????????????
式中，u0是击打结束后的瞬间母球质心的速度（与冲量P同向）。母球受到的相对于其质心的冲量矩为
R
J?P???????????????????????????????????????????????????2对击球过程应用刚体转动的角动量定理有
???????????????????????????②
????????????????????????????????????J?I?0?0??????????????????????
式中，?0是在击打结束后的瞬间母球的转动角速度。母球的转动惯量为
?????????????????????③
2
I?mR2 ④
5
在击球结束后的瞬间，母球上与桌面相接触的点A的速度为
vA?u0?R?0 ⑤
由①②③④⑤式可知，在击球结束的瞬间，母球上A点的速度为?
?????????????????????????????????????vA??
P
?0???????????????????????????????????????????⑥ 4m
A点沿着x轴（取x轴正向与P同向）负方向滑动。小球受到沿x轴正方向的摩擦力Ff为
Ff??mg ⑦
在击球结束后的时刻t，应用刚体的质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有
??Ff ⑧ mu
????mgRI????????????????????????????????????????????⑨?
第?2?页?,?共?16?页?
式中，取?与?0同向为正。由①①②③④⑧⑨式可知，t时刻母球质心的速度和绕质心转动的角速度分别为
?
????????????????????????????????u(t)?u0?ut?u0??gt????????????????
?t??(t)??0??PR?mgRt
?????????????2II
?
?
?????????????⑩ ??????????????
????????????????????????????????
在t时刻，A点的速度为
??????????????????????????????vA(t)?u(t)?R?(t)?由?式可知，接触点A的速度随时间的增加逐渐由负值变为
7P?gt???????????????????????????????????? 24m
vA(t0)?0 时，母球开始做纯滚动。由上式和?式得，母球被击打后经过时间 ?????????????????????????????
开始做纯滚动，此时母球球心C的速度为
t0?
P
??????????????????????????????????????????????
14?mg
15P
? 14m
uc??gt0?u0?
（2）由纯滚动条件知，在任意时刻t??0，水平滚动距离等于B点（此点就是在击球结束后的瞬间母球上与桌面相接触的点A）从时刻t??0到时刻t?经过的弧长，该弧长对应的圆心角为 ????????????????????????????????????
B点在时刻t?的位置为
??
uc
t????????????????????????????????????????????????? R
15Puct?15Pt?15Pt?
??xutRsintRsinRsin?????????????????????????? c??????????????????B14mR14m14mR
uct??15Pt????
??????yR(1cos)R1cosR1cos???????????????????????????? B??????????????????R?14mR???
这里，以B点在t??0的位置为坐标原点，x轴与P同向，y轴正向竖直向上。??式两边对时间求导得，B点速
度分量为
ut???
vBx?uc?1?cos???uc?1?cosc?
R??????????????????????????????????
ut?
vBy?ucsin??ucsinc??
R???????????????????????????????
B点速度的大小为??
????????????????????????vB?vx2?vy2?2ucsin
设B点速度的方向与水平方向的夹角为?，则
vByvBx
uct?15P15Pt?
sin????????????????????????????????
2R7m28mR
tan??
uct?ut?ut?2sinccosc
2R2R?cotuct? R??
ut?ut?2R1?cosc2sin2cR2R
sin
故
??
πuct?π15Pt?
??? 22R228mR
?
将B点速度分量对时间求导得，B点的加速度分量为
第?3?页?,?共?16?页?
aBx
uc2ut??sinc， RRuc2ut??cosc RR
2
aBy加速度大小为
22uC?15?P
????????????????????????aB??????????????????????????????????????????????????? ???
R?14?m2R
方向指向母球球心C。
评分标准： 本题共40分。
第（1）问28分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩????式各2分； 第（2）问12分，??????式各2分。 三、
（1）左侧回路电势之和为零，有
?(t)?1i(t?)dt??(?R)i(t)?0 ① Ri(t)?Li0
C?0
题给的i(t)的一般形式是
i(t)??1e?1t??2e?2t ②
由初始条件有
t
?i(0)??1??2=0
? ③
?i(0)??=??????1122
由③式知
?1?0, ?2?0. ④
将②式代入①式得
(R?R0)(?1e得
?1[(R?R0)?L?1?两边对t微商得
?1[L?12?(R?R0)?1?
?1t
d1
??2e)?L(?1e?1t??2e?2t)??(?1e?1t???2e?2t?)dt??0
C0dt
?2t
t
1?1t1?2t1?1?2
]e??2[(R?R0)?L?2?]e?(?) C?1C?2C?1?2
1?1t1
]e??2[L?22?(R?R0)?2?]e?2t?0 CC
不失普遍性，可设?1??2（因为?1??2可视为?1??2但?1??2的极限情形）。上式对任意的时刻t都等于零；因而，各指数项的系数均应为零，即
第?4?页?,?共?16?页?
1?2
L(RR)??????0, 01??1C?
?⑤ 1
L?22?(R?R0)?2??0. ?C?
解得
2?R?R0R?R0?1???1?????????2L?2L?LC?
? ⑥
2?R?R01?R?R0???????2?????
2L?2L?LC?
另一种选择?1???、 ?2???导致同样的结果。由③⑥式得
?1?
?1?R?R0?2????2L?LC2, ?2?
??1?R?R0?2????2L?LC2 ⑦
由②⑥⑦式得
i(t)?
?1?R?R0?2????2L?LC2????R?R0????e?2L
1?R?R0?????2L?LC2??t???e
2?R?R1?R?R0?0???????2L?2L?LC???t????? ⑧?
（2）要在左侧回路中产生谐振（即电流i(t)持续等幅振荡），须使电路的能量不随时间耗损，同时电流随时间期性变化。因而有
?R?R0?0,
?
??R?R?2 10
??0.???
??2L?LC
⑨
注意，⑨式第一式直接导致⑨式第二式。所以，⑨式第一式是此电路发生谐振的条件。由⑧式和⑨式第一式得
iH(t)??LC谐振频率为
ejtLC?e2j?jtLC?t??LCsin??LC?? ? ⑩
fH?1 ?
2πLC（3）要在左侧回路中产生RLC阻尼振荡（即电流i(t)振幅随时间t衰减），须使电路的能量不断随时间耗损，同时电流随时间周期性变化。因而有
R?R0?0 ? 1?R?R0?
?0 ? ???
?2L?LC
由??式得
2
R0?R?R0?2这是电路发生阻尼振荡的条件。由⑧?式得
L ? C第?5?页?,?共?16?页?
第37届全国中学生物理竞赛复赛试题解答
