南开大学2000年数学分析考研试题.
??x?y?sin?xy?,?x,y???0,0??22x?y1. 设f?x,y???， ?0，?x,y???0,0??证明f?x,y?在点?0,0?处连续，但不可微.
2. 设f?u?具有连续的导函数，且limf??u??A?0，，
u???D???x,y?:x2?y2?R2,x,y?0?，?R?0?， （1）证明 limf?u????；
u???（2）求IR???f??x2?y2?dxdy；
Dd（3）求limIR.
R???R23.（1）叙述f?x?于区间I上一致连续的定义； （2）设f?x?，g?x?都于区间I上一致连续且有界， 证明F?x??f?x?g?x?也于I上一致连续，
4.设函数列?fn?x??于区间I上一致收敛于f?x?，且存在数列?an?，使得当x?I时，总有fn?x??an，证明f?x?于I上有界. 5.设an?0，?n?1,2,L?，Sn??ak，
k?1?an证明（1）若?收敛，则?an也收敛.
n?1n?1Snn??an（2)如果??1，??收敛，问?an是否也收敛？说明理由.
n?1n?1Sn?6.设f?x,t?于?a,?????c,d?上连续，?证明?
??a??af?x,t?dx于?c,d?上一致收敛，
f?x,d?dx收敛.
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南开大学2000年数学分析考研试题解答
1.解：f?0,0??0，
f?x,y??x?y?xy 22x?yx?y? ?lim12x?y2??12??x?y?， x2?y22?x,y???0,0?f?x,y??f?0,0??0，于是f?x,y?在点?0,0?处连续.
显然fx?0,0??0，fy?0,0??0， 当??x????y?22?0时，
f??x,?y????fx?0,0??x?fy?0,0??y????x????y?在，
22???x??y?sin??x??y????x?2???y?2???x?2???y?2??的极限不存
所以f?x,y?在点?0,0?处不可微. 2.（1）证明 由limf??u??A?0，
u???存在M?0，当u?M时，有f??u??A， 2f?u??f?u??f?M??f?M? ?f?????u?M??f?M? ?A?u?M??f?M?， 2u???由此，可知limf?u????； （2）解 IR???f??x2?y2?dxdy
D ??2d??f??r2?rdr?00?R?1???f?R2??f?0??； ?22f?R2??f?0?IR?（3）解 lim2?lim
R???R4R???R2 2
??f??R2??2R4Rlim???2R
??4Rlim???f??R2???4A.
3、简略。
4.证明 由于?fn?x??在I上一致收敛于f?x?， 对??1，存在正整数N，当n?N时，有
fn?x??f?x??1，?x?I?，
fN?x??f?x??1，?x?I?，
f?x??f?x??fN?x??fN?x??1?aN，?x?I?， 即知f?x?在I上有界.
5、设an?0，Sn?a1?a2???an，
?1?证明： （1）当?时， ?anS?收敛；
n?1n（2） 当??1?，且nlim??S???时， ?ann?发散。 n?1Sn?（3） 当??1?，且?aan收敛时，?n1n?1S?收敛。
n?n
证明 对任意正整数n， an?Sn?Sn?1，（S0?0），
因为an?0，所以Sn?1?Sn，
（1）当??1时，利用不等式anSn?Sn?1Sn1S??S??n?Sdxn?1x?，
nN得 ?aNnSn1SN1??1N??dxn?2S，{n?n?2?Sxdx?n?1??S1x?dx??1x??an?}n?2S有界，n??ann?1S?收敛； n
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故
南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答
