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南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答

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南开大学2000年数学分析考研试题.

??x?y?sin?xy?,?x,y???0,0??22x?y1. 设f?x,y???, ?0,?x,y???0,0??证明f?x,y?在点?0,0?处连续,但不可微.

2. 设f?u?具有连续的导函数,且limf??u??A?0,,

u???D???x,y?:x2?y2?R2,x,y?0?,?R?0?, (1)证明 limf?u????;

u???(2)求IR???f??x2?y2?dxdy;

Dd(3)求limIR.

R???R23.(1)叙述f?x?于区间I上一致连续的定义; (2)设f?x?,g?x?都于区间I上一致连续且有界, 证明F?x??f?x?g?x?也于I上一致连续,

4.设函数列?fn?x??于区间I上一致收敛于f?x?,且存在数列?an?,使得当x?I时,总有fn?x??an,证明f?x?于I上有界. 5.设an?0,?n?1,2,L?,Sn??ak,

k?1?an证明(1)若?收敛,则?an也收敛.

n?1n?1Snn??an(2)如果??1,??收敛,问?an是否也收敛?说明理由.

n?1n?1Sn?6.设f?x,t?于?a,?????c,d?上连续,?证明?

??a??af?x,t?dx于?c,d?上一致收敛,

f?x,d?dx收敛.

1

南开大学2000年数学分析考研试题解答

1.解:f?0,0??0,

f?x,y??x?y?xy 22x?yx?y? ?lim12x?y2??12??x?y?, x2?y22?x,y???0,0?f?x,y??f?0,0??0,于是f?x,y?在点?0,0?处连续.

显然fx?0,0??0,fy?0,0??0, 当??x????y?22?0时,

f??x,?y????fx?0,0??x?fy?0,0??y????x????y?在,

22???x??y?sin??x??y????x?2???y?2???x?2???y?2??的极限不存

所以f?x,y?在点?0,0?处不可微. 2.(1)证明 由limf??u??A?0,

u???存在M?0,当u?M时,有f??u??A, 2f?u??f?u??f?M??f?M? ?f?????u?M??f?M? ?A?u?M??f?M?, 2u???由此,可知limf?u????; (2)解 IR???f??x2?y2?dxdy

D ??2d??f??r2?rdr?00?R?1???f?R2??f?0??; ?22f?R2??f?0?IR?(3)解 lim2?lim

R???R4R???R2 2

??f??R2??2R4Rlim???2R

??4Rlim???f??R2???4A.

3、简略。

4.证明 由于?fn?x??在I上一致收敛于f?x?, 对??1,存在正整数N,当n?N时,有

fn?x??f?x??1,?x?I?,

fN?x??f?x??1,?x?I?,

f?x??f?x??fN?x??fN?x??1?aN,?x?I?, 即知f?x?在I上有界.

5、设an?0,Sn?a1?a2???an,

?1?证明: (1)当?时, ?anS?收敛;

n?1n(2) 当??1?,且nlim??S???时, ?ann?发散。 n?1Sn?(3) 当??1?,且?aan收敛时,?n1n?1S?收敛。

n?n

证明 对任意正整数n, an?Sn?Sn?1,(S0?0),

因为an?0,所以Sn?1?Sn,

(1)当??1时,利用不等式anSn?Sn?1Sn1S??S??n?Sdxn?1x?,

nN得 ?aNnSn1SN1??1N??dxn?2S,{n?n?2?Sxdx?n?1??S1x?dx??1x??an?}n?2S有界,n??ann?1S?收敛; n

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南开大学2000年和2001年数学分析考研试题及解答

南开大学2000年数学分析考研试题.??x?y?sin?xy?,?x,y???0,0??22x?y1.设f?x,y???,?0,?x,y???0,0??证明f?x,y?在点?0,0?处连续,但不可微.2.设f?u?具有连续的导函数,且limf??u??A?0,,u???D???x,y?:x2?y2?R2,x,y?0?,?R?
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