实验六 线性系统的频域分析
一. 实验目的
（1）熟练掌握使用MATLAB命令绘制控制系统Nyquist图的方法； （2）能够分析控制系统Nyquist图的基本规律；
（3）加深理解控制系统乃奎斯特稳定性判据的实际应用； （4）学会利用奈氏图设计控制系统；
（5）熟练掌握运用MATLAB命令绘制控制系统伯德图的方法； （6）了解系统伯德图的一般规律及其频域指标的获取方法； （7）熟练掌握运用伯德图分析控制系统稳定性的方法； （8）设计超前校正环节并绘制Bode图； （9）设计滞后校正环节并绘制Bode图。 二. 实验原理及内容 1、频率特性函数G(j?)。 频率特性函数为：
G(jw)?b0(j?)m?b1(j?)m?1?????bm?1(j?)?bma0(j?)n?a1(j?)n?????an?1(j?)?an
由下面的MATLAB语句可直接求出G(jw)。 i=sqrt(-1) % 求取-1的平方根
GW=polyval(num，i*w)./polyval(den，i*w) 2、用MATLAB作奈魁斯特图。
控制系统工具箱中提供了一个MATLAB函数nyquist( )，该函数可以用来直接求解Nyquist阵列或绘制奈氏图。当命令中不包含左端返回变量时，nyquist（）函数仅在屏幕上产生奈氏图，命令调用格式为：
nyquist(num,den) ;作Nyquist图，
nyquist(num,den,w);作开环系统的奈氏曲线， 3、奈奎斯特稳定性判据（又称奈氏判据）
反馈控制系统稳定的充分必要条件是当ω从-∞变到∞时，开环系统的奈氏曲线不穿过点（-1，j0）且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数。 4、用MATLAB作伯德图
控制系统工具箱里提供的bode()函数可以直接求取、绘制给定线性系统的伯德图。 命令的调用格式为：
[mag,phase,w]=bode(num,den) [mag,phase,w]=bode(num,den,w)
由于伯德图是半对数坐标图且幅频图和相频图要同时在一个绘图窗口中绘制，因此，要用到半对数坐标绘图函数和子图命令。
（1） 对数坐标绘图函数
利用工作空间中的向量x，y绘图，要调用plot函数，若要绘制对数或半对数坐标图，只需要用相应函数名取代plot即可，其余参数应用与plot完全一致。
（2） 子图命令
MATLAB允许将一个图形窗口分成多个子窗口，分别显示多个图形，这就要用到subplot()函数，其调用格式为：subplot(m，n，k) 5、 用MATLEB求取稳定裕量
同前面介绍的求时域响应性能指标类似，由MATLAB里bode()函数绘制的伯德图也可以采用游动鼠标法求取系统的幅值裕量和相位裕量。
此外，控制系统工具箱中提供了margin()函数来求取给定线性系统幅值裕量和相位裕量，该函数可以由下面格式来调用：
margin（num , den）;给定开环系统的数学模型，作Bode图，并在图上方标注幅值裕度Gm和对应频率ωg，相位裕度Pm和对应的频率ωc。
[Gm, Pm, Wcg, Wcp]=margin(G);
如果已知系统的频率响应数据，我们还可以由下面的格式调用此函数。
[Gm, Pm, Wcg, Wcp]=margin(mag, phase, w);
其中(mag, phase, w)分别为频率响应的幅值、相位与频率向量。
如果系统的相角裕量γ>45o,我们一般称该系统有较好的相角裕量。
k【自我实践6-1】某单位负反馈系统的开环传递函数G(s)?，求(1) 当k=4时，
s(s?1)(s?2)计算系统的增益裕度，相位裕度，在Bode图上标注低频段斜率，高频段斜率及低频段、高频段的渐近相位角。(2) 如果希望增益裕度为16dB，求出响应的k值，并验证 伯德图 结果分析 （2）计算-90°-tan-1(w)-tan-1(w/2)=-180°，计算得到wc=1.414，代入式子得到K=0.375 验证：num=[0.375],den=[1 3 2 0], G = 0.375 ----------------- s^3 + 3 s^2 + 2 s （1）低频段增益-20db/dec，高频段-60db/dec,低频段渐进相位角为-90°，高频段为-270°，增益裕度Gm=1.5000,相位裕度Pm= 11.4304° 6、系统对数频率稳定性分析 【自我实践6-2】系统开环传递函数G(s)?K 响应曲线 Continuous-time transfer function. Gm =16.0000 Pm = 74.3477 Wcg = 1.4142 Wcp =0.1836 k，试分析系统的稳定性。
s(0.5s?1)(0.1s?1)运行结果 12 ---------------------- 0.05 s^3 + 0.6 s^2 + s Gm=1 Pm =9.5374e-06 Wcg =4.4721 Wcp =4.4721 分析 Gm =1 Pm≈0 系统响应在K=12时产生等幅振荡，此时临界稳定 K=12 K<12 K=5 K>12 K=15 5 ---------------------- 0.05 s^3 + 0.6 s^2 + s Gm=2.40 Pm = 19.9079 Wcg =4.4721 Wcp =2.7992 15 ---------------------- 0.05 s^3 + 0.6 s^2 + s Gm=0.800 Pm = -4.6920 Wcg = 4.4721 Wcp = 4.9916 Gm ≥1 Pm>0 系统响应在K<12时产生减幅振荡，此时系统稳定 Gm <1 Pm<0 系统响应在K>12时产生发散振荡，此时系统不稳定 ，求(1)绘制
【自我实践6-3】某单位负反馈系统的开环传递函数G(s)?31.6s(0.01s?1)(0.1s?1)Bode图，在幅频特性曲线上标出低频段斜率、高频段斜率、开环截止频率和中频段穿越频率；在幅频特性曲线标出：低频段渐近相位角、高频段渐近相位角和-180?线的穿越频率。(2)计算系统的相位裕度?和幅值裕度h，并确定系统的稳定性 伯德图 分析 （1） 低频段斜率-20dB/dec,高频段斜率-60 dB/dec，截止频率w=16.3，穿越频率=32.3，低频段渐进相位角为-90°，高频段渐进相位角为-270°；-180°穿越频率为32.3 （2） 幅值裕度h= Gm =3.4810，相位裕度?=Pm =22.2599°，h大于1，?大于零，系统稳定 k(s?1)s2(0.1s?1) 【自我实践6-4】某单位负反馈系统的开环传递函数G(s)?，令k=1作bode图，
应用频域稳定判据确定系统的稳定性，并确定使系统获得最大相位裕度的增益k值。
伯德图 分析 分析： 幅值裕度=0，相角裕度大于零，即Gm =0，Pm =44.4594，故系统稳定；由于 相角特性曲线具有对称性质，可以计 算出获得最大相角裕度的w=√10,再 有幅频摸等于1计算得到k= w=√10, 此时获得最大相角裕度。 7、时间延迟系统的频域响应 【综合实践】试观察下列典型环节BODE图形状，分析参数变化时对BODE图的影响，填写下表。
自动控制原理实验六线性系统的频域分析
