则?min(x)????1??1??a?alna?1，设h(a)?a?alna?1，h?(a)??lna， a??当0?a?1时，h?(a)?0，h(a)单调递增；
当a?1时，h?(a)?0，h(a)单调递减．
所以hmax(a)?h(1)?0．
（ⅰ）当a?1时，a?alna?1?0，所以?min(x)????1??1??a?alna?1?0， a??此时x?12?1?0，所以方程2aln(x?1)??alna?a?1?0有唯一解x?0， ax?1即x3?x4?0，此时切线方程为y?x； （ⅱ）当a?0且a?1时，a?alna?1?0， 当x?0时，h?x??lnx?11x?11?1，则h'?x???2?2，
xxxx故x?1函数单调递增，当0?x?1时，函数单调递减，故h?x?min?h?1??0， 故lnx?1?11?x，同理可证e?，ex?x2?1成立． xx?a因为?1?e?1?1?1，则??e?a?1??2ea?2a2?alna?a?1 a?1??2ea?2a2?a?1???a?1?2?ea?a2?1??2?a2?1?a2?1??0.
?a?1a又由当x?0时，e?x，可得e?1?x1?1， a111????1?aaa则??e?1??2e?alna?a?1?2e?(a?alna?1)?2ea?0，
??所以函数?(x)?2aln(x?1)?2?alna?a?1有两个零点， x?1即方程2aln(x?1)?2?alna?a?1?0有两个根x4，x4?， x?1即??x4???x4??0，此时x4?x4?，x4,x4??(?1,??)，则 x4?x4???2， 所以a?x4?1??ax4??1，
因为x3?a?x4?1??1，x3??ax4??1?1，所以x3?x3?，所以直线l不唯一．
综上所述，存在a?1，使l:y?x是曲线y?f(x)的切线，也是曲线y?g(x)的切线，而且这样的直线l是唯一的．
2??2??2??2?x?t2222．（1）曲线C:?（t为参数），化为直角坐标方程为y?4x，
?y?2t再化为极坐标方程为?sin??4cos?，
2?2x?1?t??2直线l的参数方程为?（t为参数） ；
?y?2t?2?（2）将直线l的参数方程代入曲线C，得t2?42t?8?0， 所以t1?t2?42，t1?t2??8，
点P在AB之间，所以|PA|?|PB|?|AB|??t1?t2?2?4t1t2?8，
|PA|?|PB|?t1t2?8，
11|PA|?|PB|8????1. |PA||PB||PA||PB|8所以
23．（1）函数图象如下图：
不等式f(x)2的解集M?x?1?x?3；
??（2）?2?a??1. 2?x?1,x?3?（1）f(x)?2x?4?x?3??3x?7,2?x?3，画出图象，如下图所示：
??x?1,x?2?
当x?3时，f(x)2?x?1?2?x?3?x?3；
当2?x?3时，f(x)2?3x?7?2?x?3?2?x?3;
当x?2时，f(x)2??x?1?2?x??1??1?x?2，所以
不等式f(x)2的解集M?x?1?x?3.
??（2）当x?[?1,2]时，g(x)??x?1?ax??(a?1)x?1
当a??1时，g(x)?1?0，显然成立；
当a??1时，要想g(x)0，只需g(x)max?0即可，也就是
11g(x)max?0?g（2）?0?a????1?a??；
22（?1）?0?a??2??2?a??1， 当a??1时，要想g(x)0，只需g(x)min?0?g所以当x?[?1,2]时，当g(x)0，a的取值范围?2?a??1； 2当x?(2,3]时，g(x)?3x?7?ax?(3?a)x?7，
当a?3时，显然g(x)0不成立；
（3）?0?a?当a?3时，要想g(x)0，只需g(x)max?0?gg2）?0?a???a??当a?3时，要想g(x)0，只需（所以当x?[?1,2]时，当g(x)0，a的取值范围是a??2?不存在这样的a； 3121， 21， 2综上所述a的取值范围?2?a??
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四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题理
