四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知集合A?{x|1?x?4}，B?{x|(x?2)(x?4)?0,x?Z}，则AB?
A．{x|2x4} B．{x|1?x?4} C．{2,3} D．{2,3,4}
2．若iz??1?i，则复数z在复平面内对应的点位于 A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是 A．各月的利润保持不变
B．各月的利润随营业收入的增加而增加 D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
C．各月的利润随成本支出的增加而增加
x?x4．若f?x??e?a?e为奇函数，x?R，则f?x?在0,f?0?处的切线方程为 A．y?0
B．y?x
??C．y?2x D．y?2ex
25．已知抛物线C：y?4x的焦点为F，M为C上一点，若MF?4，则△MOF（O为坐标原点）
的面积为
A．3 B．23 C．43 D．63 6．已知cos????4?a??，则sin2a= ?4?5B．
A．-7 257 25C．-
15D．
1 57．已知向量a,b，a?2，b??cos?,sin?????R?，若a?2b?23，则a与b夹角是
A．
5? 6B．
2? 3C．
? 3D．
? 68．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖膳（biē nào）.如图，网格纸上小正方形的边长1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑表面积为 A．6 C．27
B．21 D．54
?x?y?0?y?39．已知x,y满足?x?y?0,，则的取值范围为
x?2?x?1??3???A．?,4?
2
B．(1,2]
C．(??,0][2,??) D．(??,1)?[2,??)
x2y2210．若双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截得的弦长为2，
ab则C的离心率为
A．23 3B．2
C．3 D．2
x2y211．已知双曲线?:2?2?1(a?0,b?0)的右焦点为F，过原点的直线l与双曲线?的左、右
ab两支分别交于A,B两点，延长BF交右支于C点，若AF?FB,|CF|?3|FB|，则双曲线?的离心率是
A．
17 3B．
3 2C．
5 3D．
10 2x212．设函数f(x)?e?x?2，g(x)?lnx?x?3若实数a,b满足f(a)?0，g(b)?0则
A．g(a)?0?f(b) B．f(b)?0?g(a)
C．0?g(a)?f(b) D．f(b)?g(a)?0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
52??13．?x2??的展开式中x4项的系数为_______． x??14．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且a1?a5??14，S9??27，则使得Sn取最小值时的n为____．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：?x?1???y?2??16，若等腰直角?PAB的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为______.
2216．若三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB?23，SA?SB?SC?7，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）已知在?ABC中，?ACB?120?，BC?2AC. （1）求tanA的值；
（2）若AC?1，?ACB的平分线CD交AB于点D，求CD的长.
18．（12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在
?25,55?(百元)内，且月工资收入在?45,50?(百元)内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示
的频率分布直方图:
(1)求n的值；
(2)已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名. ①完成如下所示2?2列联表
技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 50 50 月工资高于平均数 总计 50 50 100
②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
n?ad?bc?参考公式及数据:K2?，其中n?a?b?c?d.
?a?b??c?d??a?c??b?d?P?K2?k0? 20.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（12分）如图，三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?（1）证明：面PAB?面ABC； （2）求二面角C?PA?B的余弦值.
3,CA?CB?2,AC?BC
x2y220.（12分）设F1，F2分别是椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦
ab点，已知椭圆的长轴为22,P是椭圆C上一动点，PF的最大值为1. 1?PF2（1）求椭圆C的方程；
（2）过点?2,0?的直线l交椭圆C于A,B两点， M为椭圆C上一点，O为坐标原点，且满足
?4543?,OAOBmOM，其中m???，求AB的取值范围. 53??21．（12分）已知函数f(x)?aln(x?1)(a?0)．
（1）当a?2时，若函数F(x)?f(x?1)?1在x1，x2（x1?x2）处导数相等，证明：xF?x1??F?x2??2；
（2）是否存在a，使直线l是曲线y?f(x)的切线，也是曲线g(x)?x(x??1)的切线，而且x?1这样的直线l是唯一的，如果存在，求出直线l方程，如果不存在，请说明理由．
四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期开学考试试题理
