高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）
一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当x??0时，（A）无穷小量。
111A xsin B ex C lnx D sinx
xxx?1?3x?1?x?1 的（C）2、点x?1是函数f(x)??1。
?3?xx?1?A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数f(x)在点x0处有定义是其在x0处极限存在的（D）。
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件
x2?2?ax)?0，则常数a等于（A）4、已知极限lim(。
x??xA -1 B 0 C 1 D 2
ex?15、极限lim等于（D）。
x?0cosx?1A ? B 2 C 0 D -2
二、填空题（每小题4分，共20分） 1、lim(1?)=e
x??21x2x?22、 当x??0时，无穷小??ln(1?Ax)与无穷小??sin3x等价，则常
数A=3
3、 已知函数f(x)在点x?0处连续，且当x?0时，函数f(x)?2则函数值f(0)=0
?1x2，
4、 lim[111??L?]=1
n??1?22?3n(n?1) 1
5、 若limf(x)存在，且f(x)?x??sinx?2limf(x)，则limf(x)=1
x??x??x??二、解答题
111)(1?)L(1?) 222n??23n1324n?1n?11n?11解：原式=lim(?)(?)L(?)?lim??
n??2n??2233nnn2tanx?sinx2、（7分）计算极限 lim
x?0x3sinx12?sinxx1?cosx1cosx2解：原式=lim ?lim?lim?x?0x?0x2cosxx?0x2cosxx322x?3x?13、（7分）计算极限 lim()
x??2x?11、（7分）计算极限 lim(1?1?2x?11x?122lim(1?)?lim(1?)x??x??12x?1x?2解：原式= 111x?212?lim(1?)?lim(1?)?ex??x??11x?x?224、（7分）计算极限 limx?01?xsinx?1e?1x2 1xsinx12解：原式=lim ?x?0x22x3?ax2?x?45、（7分）设lim 具有极限l，求a,l的值
x??1x?1解：因为lim(x?1)?0，所以 lim(x?ax?x?4)?0，
x??1x??132因此 a?4 并将其代入原式
x3?4x2?x?4(x?1)(x?1)(x?4)l?lim?lim?10
x??1x??1x?1x?1 2
6、（8分）设?(x)?x?3x?2,?(x)?c(x?1)，试确定常数c,n，使得
3n?(x):?(x)
?(x)?x3?3x?2?(x?1)2(x?2)解：
此时，?(x):?(x) (x?1)2(x?2)3Qlim?,?c?3,n?2x?1c(x?1)2c1?xsin?7、（7分）试确定常数a，使得函数f(x)??x2??a?x在(??,??)内连续
解：当x?0时，f(x)连续，当x?0时，f(x)连续。
x?0x?0
1?0x?0x?0x 所以 当a?0时，f(x)在x?0连续
2limf(x)?lim(a?x)?a?limf(x)?limxsin?x?0x?0因此，当a?0时，f(x)在(??,??)内连续。
8、（10分）设函数f(x)在开区间(a,b)内连续，a?x1?x2?b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得
t1f(x1)?t2f(x2)?(t1?t2)f(c)(t1?0,t2?0)
证明：因为f(x)在(a,b)内连续，a?x1?x2?b，所以 f(x)在[x1,x2]上连续，由连续函数的最大值、最小值定理知，f(x)在[x1,x2]上存在最大值M和最小值m，即在[x1,x2]上，m?f(x)?M，所以
(t1?t2)m?t1f(x1)?t2f(x2)?(t1?t2)M，又因为 t1?t2?0，所以
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(完整版)高等数学测试题一(极限、连续)答案
