选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 bn（I）设
n?an，求数列{bn}的通项公式
（II）求数列
{an}的前n项和Sn
an?1?an?11分析：（I）由已知有n?1n2n?bn?1?bn?2n 利用累差迭加即可求出数列
{bn}b2?1的通项公式:
n?2n?1(n?N*)
a?2n?n（II）由（I）知
n2n?1,
n?Sn=?(2k?knn)?k?12k?1?(2k)??kk?1k?1k?12
?nn(2k)?n(n?1)而k?1,又?kkk?12?1是一个典型的错位相减法模型，
易得?nkn?k?1?4?2k?122n?1(n?1)?n?2 ?Sn=n2n?1?4
23.（2009北京理）已知数集
A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的
aji,j?1?i?j?n?，
aiaj与
ai两数中至少有一个属于A.
（Ⅰ）分别判断数集
?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由；
a1?a2???an（Ⅱ）证明：a1?1?1?1?1?an，且a1?a2???an；
（Ⅲ）证明：当n?5时，
a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.
4（Ⅰ）由于3?4与3均不属于数集
?1,3,4?，∴该数集不具有性质P.
1?2,1?3,1?6,2?3,661236 由于
2,3,1,2,3,6都属于数集?1,2,3,6?， ∴该数集具有性质P.
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 anA??a1,a2,?an?aaa（Ⅱ）∵具有性质P，∴nn与n中至少有一个属于A，
由于
1?a1?a2???an，∴anan?an，故anan?A.
1?an?Aa?1. an，∴1从而∵
1?a1?a2???an， ∴akan?an，故akan?A?k?2,3,?,n?.
an?A?k?1,2,3,?,n?a由A具有性质P可知k. anaaa?n???n?naan?1a2a1， 又∵nanaaa?1,n?a2,?n?an?1,n?anaan?1a2a1∴n，
anaaa?n???n?n?a1?a2???an?1?anaan?1a2a1从而n， a1?a2???an?an?1?1?1a?a2???an∴1.
a5a?a2,5?a32a?aa?aaan?5524343（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵
1?a1?a2???a5，∴a3a4?a2a4?a5，∴a3a4?A，
a4?Aa由A具有性质P可知3.
a3a4a3a4a3??A1??a??a222aa?aaaaaa3，得2322 24，且，∴3，
a5a4a3a2????a2a,a,a,a,aaaa3a2a1∴4，即12345是首项为1，公比为2成等比数列.
25（2009江苏卷）对于正整数n≥2，用组数，其中
Tn表示关于x的一元二次方程x2?2ax?b?0有实数根的有序数组(a,b)的
a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等）；对于随机选取的
a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等），记
Pn为关于
x的一元二次方程x2?2ax?b?0有实数根的概率。
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （1）求
Tn2和
Pn2；
（2）求证：对任意正整数n≥2，有
Pn?1?1n.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列
{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有
ap?aqam?an?.(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)
14a?,b?25时，求通项an; （1）当
1（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有??an??.
解：（1）由
ap?aqam?an?(1?am)(1?an)(1?ap)(1?aq)得
a1?ana2?an?1?.a1?1,a2?4(1?a1)(1?an)(1?a2)(1?an?1)将25代入化简得 an?
2an?1?1.an?1?2
1?an11?an?1??,1?an31?an?1 所以
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 {1?an}故数列
1?an为等比数列，从而
1?ann1?a?13n,an3即n??13n?1.
a3n?1可验证，
n?3n?1满足题设条件. am?an(2) 由题设
(1?aaba1?ana?ann?1?)?(1?a)(1?a.m)(1?n)的值仅与m?n有关,记为bm?n,则(1?a1)(1?ann) f(x)?a?x考察函数
(1?a)(1?x)(x?0),则在定义域上有
??1a?1?1?a,f(x)?g(a)???1?2,a?1??a?1?a,0?a?1
故对n?N*，
bn?1?g(a)恒成立.
b2an2n?又
(1?a2?g(a)n),
0?g(a)?1注意到
2,解上式得
g(a)1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)?g(a)?an?g(a),
??1?g(a)?1?2g(a)1取
g(a)?a,即有 ?n??..
S??a?(1)n?1?30. (2009湖北卷理)已知数列?an?的前n项和nn22（n为正整数）。
（Ⅰ）令
bn?2nan，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式； c?1na5n(Ⅱ）令
n?nn，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与2n?1的大小，并予以证明。 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 19
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 S1?1解（I）在n??an?(2)n?2中，令n=1，可得S1??a?2?aa1n?11，即1?2 S1?2?S1当n?2时，n?1??an?1?()n?2，?an?Snn?1??an?an?1?(2)n?12，
?2a1?1n?an?1?()n,即2nan?12n?2an?1?1.
?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. 又
b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.
b 于是
n?1?(n?1)?1?n?2nan,?an?n2n.
c?n?1a1)(1)n(II)由（I）得
nnn?(n?2，所以
T?1?3?(1)2?4?(1)3?K?(n?1)(1n?2)n22221
T12)2?3?(12)3?4?(11n?2?(2)4?K?(n?1)(2)n?12
1T1)2?(1)3?K?(1)n1由①-②得2n?1?(222?(n?1)(2)n?1 1[1?(1)n?1]?1?42?(n?1)(1)n?13n?31?12?2?2n?12?T?3?n?3n2n
T5nn?35n(n?3)(2n?2n2n?1?3??1)n?2n?2n?1?2n(2n?1)
T于是确定
n与5n2n?1的大小关系等价于比较2n与2n?1的大小
由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5;K
可猜想当
n?3时，2n?2n?1.证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1
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高中数列知识大总结（绝对全）
