． 设F是椭圆x2y257?6?1的右焦点，且椭圆上至
少有21个不同点
Pi(i?1,2,?)使P1F，P2F，P
3F,?组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为
????110，0???????0，1?10?? 解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为(7?1)和（7?1），由题意得： （7?1）?（n?1)d?7?1?d?2n?1?n?1?20?d?1 10，又d?0??110?d?0或0?d?110三、解答题 6． 等差数列
?an?的前n项和记为Sn，已知
a10?30，a20?50
①求通项an；②若Sn=242，求n 解：an?a1?(n?1)d
a10?30，a20?50解方程组??a1?9d?30?a1?19d?50 ???a1?12?d?2?an?2n?10由Sn?na1?n(n?1)d2，Sn=242 ?12n?n(n?1)2?2?242 解得n?11或n??22(舍去）7． 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运
动，甲第一分钟走2m，以后每分钟比前一分钟多
走1m，乙每分钟走5m，①甲、乙开始运动后几分钟相遇？②如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：①设n分钟后第一次相遇，依题意有：
2n?n(n?1)2?5n?70 解得n?7，n??20(舍去）故第一次相遇是在开始运动后7分钟。 ②设n分钟后第二次相遇，则：
2n?n(n?1)2?5n?3?70 解得n?15，n??28(舍去）故第二次相遇是在开始运动后15分钟 10．已知数列
?an?中，
a1?3，前n和
Sn?12(n?1)(an?1)?1 ①求证：数列?an?是等差数列
②求数列
?an?的通项公式
③设数列??1?a?的前n项和为Tn，是否存在实
?nan?1?数M，使得Tn?M对一切正整数n都成立？若存
在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。 解：①∵S1n?2(n?1)(an?1)?1 ?Sn?1?12(n?2)(an?1?1)?1?an?1?Sn?1?Sn?12?(n?2)(an?1?1)?(n?1)(an?1)?
整理得，nan?1?(n?1)an?1?(n?1)an?2?(n?2)an?1?1?(n?1)an?2?nan?1?(n?2)an?1?(n?1)an?2(n?1)an?1?(n?1)(an?2?an)?2an?1?an?2?a
n∴数列
?an?为等差数列。
6
②a1?3，nan?1?(n?1)an?1
?a2?2a1?1?5?a2?a1?2?an?的公差为2即等差数列?an?a1?(n?1)d?3?(n?1)?2?2n?1③?
11 ?anan?1(2n?1)(2n?3)1?11????2?2n?12n?3?1111111?Tn?(???????)235572n?12n?3 111?(?)232n?31又当n?N?时，Tn?6?要使得Tn?M对一切正整数n恒成立，只要M≥
1，所以存在实数M使得Tn?M对一切正整数n 6都成立，M的最小值为
1。 66.3等比数列
知识要点
1． 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
5． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,q?N ①
?)
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反之
q，（q?0)。
2． 递推关系与通项公式
不真！ ②qn?m?递推关系：an?1?qan通项公式：an?a1?qn?1 推广：an?am?qn?m3． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为
③
an2，an?an?m?an?m(n?N?) am?an?为等比数列，则下标成等差数列的对应项
q??1时，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，?仍
成等比数列。 ④
a与c的等比中项，且为b??ac，注：b?ac是成等比数列的必要而不充分条件。 4． 前n项和公式
2成等比数列。
6． 等比数列与等比数列的转化 ①
?an?是等差数列??ca?n(c?0，c?1)是
(q?1)?na1?Sn??a1(1?qn)a1?anq??1?q?1?q
等比数列；
(q?1)
②
?an?是正项等比数列
??logcan?(c?0，c?1)是等差数列；
7
③
?an?既是等差数列又是等比数列??an?是各
项不为零的常数列。 7． 等比数列的判定法 ①定义法：
an?1a?q（常数）??an?为等比数列；
n②中项法：a2n?1?an?an?2(an?0)??an?为
等比数列；
③通项公式法：an?k?qn(k,q为常数）??an?为等比数列；④前
n项和法：
Sn?k(1?qn)（k,q为常数）??an?为等比数
列。
1． 设f(n)?2?24?27?210???23n?10
(n?N?)，则f(n)等于（D）A．27(8n?1)B．27(8n?1?1)
C．2(8n?3?1)D．2(8n?477?1)2． 已知数列
?an?是等比数列，且
Sm?10，S2m?30，则S3m?70 （问题引入） 猜想：
?b1n?是等比数列，公比为2。
证明如下：∵bn?a111?12n?1?4?2a2n?4
?1(a112n?1?) 24?4?12(a11
2n?1?4)?2bn即：
bn?1b?1，∴?b1n?是首项为a?n24，公比
为12的等比数列。
二、性质运用
例2：⑴在等比数列
?an?中，
a1?a6?33，a3a4?32，an?an?1
①求an， ②若Tn?lga1?lga2???lgan,求Tn
⑵在等比数列
?an?中，若a15?0，则有等式
a1?a2???an?a1?a2???a29?n(n?29，n?N?)成立，类比上述性质，相应的
在等比数列?bn?中，
若b19?1则有等式 成立。
解：⑴①由等比数列的性质可知：
a1?a6?a3?a4?32又a1?a6?33，a1?a6 解得a1?32，a6?1
所以a6a?132，即q5?132，?q?112所以a(1n?32?)n?1?26?n2 ②由等比数列的性质可知，
?lgan?是等差数
列，因为
lgan?lg26?n?(6?n)lg2，lga1?5lg2所以T(lga1?lgan)nn(11?n)
n?2?2lg2⑵由题设可知，如果
am?0在等差数列中有
a1?a2???an?a1?a2???a2m?1?n (n?2m?1，n?N?)成立，我们知道，如果
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq，而对于
等
比
数
列
?bn?，则有
若m?n?p?q，则am?an?ap?aq所以可以得
出结论，若
8
bm?1，则有b1b2?bn?b1b2?b2m?1?n(n?2m?1，n?N?)成立，在本题中
则有b1b2?bn?b1b2?b37?n(n?37，n?N?)
点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。 典例精析
一、 错位相减法求和 例1：求和：Sn?12a?3na2?a3???an 解：⑴
a?1时，Sn(n?1)n?1?2?3??n?2 ⑵a?1时，因为a?0 S1n?a?23aa???n2?3an ① 1aS12n?1n?a2?a3???an?nan?1 ②
由①－②得：
(1?1a)S111nn?a?a2???an?an?11(1?1?aan)1?1?nan?1a所以Sa(an?1)?n(a?1)n?an(a?1)2
综上所述，?n(n(a?1)S???1)??n2n?a(a?1)?n(a?1)??an(a?1)2a?1)点拨：①若数列
?an?是等差数列，?bn?是等比数列，则求数列
?an?bn?的前n项和时，可采用错位
相减法；
②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为
1进行讨论；
③当将Sn与qSn相减合并同类项时，注意错
位及未合并项的正负号。
二、 裂项相消法求和 例
2
：
数
列
?an?满足
a1=8，
a4?2，且an?2?2an?1?an?0 （n?N?）
①求数列
?an?的通项公式；
则d?a4?a14?1??2
所以，an=8＋（n－1）×（－2）＝―10－2n
bn?1n(14?a)?1n2n(n?2)?1114(n?n?2)所以②Tn?b1?b2???bn
?1?4??(11?13)?(12?14)???(11?n?n?2)???11114(1?2?n?1?n?2)?38?14(n?1)?1m4(n?2)?32 对一切n?N?恒成立。
?m?12?8n?1?8n?2对一切n?N?恒成立。对n?N?，（12?88n?1?n?2)min?12?8816故
1?1?1?2?3所以m?163m的最大整数值为5。
点拨：①若数列
?an?的通项能转化为
f(n?1)?f(n)的形式，常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，
9
消去了哪些项，保留了哪些项。 三、 奇偶分析法求和 例3：设二次函数f(x)?x2?x，当x??n，n?1?
1． 在等差数列
?an?中，a1=1，前n项和Sn满足
S2nS?4n?2?1，n?1，2，? nn ①求数列?an?的通项公式
②记ban?anpn(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。
解：①设数列
?an?的公差为d，由
S2nS?4n?2n?1，n?1，2，? n得a1?a2a?3，所以a2?21即d?a2?a1?1又4n?2n?1?S2nSn(an?nd?a1)2n
?2(an?a1)n2?2(an?n?1)an?1所以an=n ②由bn?aanpn(p?0)，有bn?npn
所以Tn?p?2p2?3p3???npn ①
当p?1时，Tn(n?1)n?2 当p?1时，pT3n?p2?2p???(n?1)pn?npn?1②
①－②得
(1?p)T2n?p?p???pn?npn?1p(1?pn?)?npn?11?p所以Tp(1?pn)npn?1n?(1?p)2?1?p
?n(n(p?1)即：T??1)??p(1?pn2n?)npn?1???(1?p)2?1?p(p?1)课外练习 １． 数列
?an?的前
n项和为
Sn，若
an?1n(n?1)，则S5等于（ B ）
A．1B．516C．6D．130解：因为a?111nn(n?1)?n?n?1所以S111111
5?(1?2)?(2?3)???(5?6)?56４．f(x)的定义域为R，且f(x)是以2为周期的周期函数，数列
?an?是首项为a(a?N?)，公差为
1的等差数列，那么f(a1)?f(a2)???f(a10)的值为（ C ）
A．－1 B．1 C．0 D．10a 解：因为函数f(x)的定义域为R，且f(x)是
以2为周期的周期函数， 所以
f(0）?0，且f(x?2)?f(x)
又数列
?an?是首项为a，公差为1的等差数列
10
高中数列知识大总结（绝对全）
