第六章 数列
二、重难点击
本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前n项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。
知识网络 通项公式 数列与正整数集关系 递推公式 等差数列 数列 定义通项公式 中项前n项的和等比数列 公式法 倒序相加法
特殊数列求和方法 错位相减法 裂项相消法 第一课时 数列 四、数列通项an与前n项和Sn的关系 n1．Sn?a1?a2?a3???an??ai
i?12．a?S1n?1n???Sn?Sn?1n?2
课前热身
3．数列
?an?的通项公式为 an?3n2?28n,则数列各项中最小项是( B )
A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项 4．已知数列
?an?是递增数列，其通项公式为an?n2??n,则实数?的取值范围是(?3,??)
5．数列?a2??2n?的前n项和Sn?n?4n?1,，则an??n?1?2n?5n?2 1
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 ⑴7，77，777，7777，?
⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9? 解析：⑴将数列变形为
7777?(10?1),(102?1),(103?1)，?,(10n?1) 9999⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，?。可得数列的通项公式为
?n?1?(?1)nan2
点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用a?S1(n?1)n???Sn?Sn?1(n?2)求数列通项
例2．已知数列
?an?的前n项和Sn，分别求其通项公式.
⑴Sn?3n?2
解析：⑴当n?1时,a1?S11?3?2?1，
当n?2时,an?Snn?Sn?1?(3?2)?(3n?1?2)
?2?3n?1
又a?1不适合上式，故a?1(n?1)1n???2?3n?1(n?2)
三、利用递推关系求数列的通项 【例3】根据下列各个数列?an?的首项和递推关系，求其通项公式
⑴a111?2,an?1?an?4n2?1
解析：⑴因为a1n?1?an?4n2?1，所以
aa1111n?1?n?4n2?1?2(2n?1?2n?1)
所以a?a11121?2(1?3)
a1113?a2?2(3?5)
a1114?a3?2(5?7)
2
?，?，
an?an?1?111(?) 22n?32n?1以上(n?1)个式相加得
11(1?) 22n?114n?3?即：an?1?
4n?24n?2 an?a1?点拨：在递推关系中若
an?1?an?f(n),求an用累加法，若
an?1?f(n),求an用累乘法，若anan?1?pan?q，求an用待定系数法或迭代法。
课外练习
3设an?111?????，(n?N)，则an?1与an的大小关系是( C ) n?1n?22n?1A．an?1C．an?1?an B．an?1?an ?an D．不能确定
解：因为
111??2n?22n?3n?1
11???02n?32n?2an?1?an?所以an?1二、填空题 5．已知数列
7．已知数列
?an，选Ｃ．
?则an???an?的前n项和Sn?n2?4n?1，?2,(n?1)
?2n?5,(n?2)?an?的通项n?y?x?98x?9998n?99?1?（n?N），则数列
??an?的前30项中最大项和最小项分别是a10，a9
解：构造函数
99?98x?99
由函数性质可知，函数在(??，99)上递减，且y?1 函数在(
上递增且y?1 99，＋?）3
又99?(9，10）?a10?a11?a12???a30?1?a1?a2??三、解答题
?a9?a10最大，a9最小6.2等差数列
知识要点
2．递推关系与通项公式
递推关系：an?1?an?d通项公式：an?a1?(n?1)d推广：an?am?(n?m)d变式：a1?an?(n?1)d;d?an?a1n?1d?an?amn?m
特征：an?dn?(a1?d),即：a,m为常数）
n?f(n)?kn?m,(kan?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成
等差数列的充要条件。 ３．等差中项：
若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b?a?c2；a,b,c成等差数列是2b?a?c的充要条件。 ４．前n项和公式
Snn?(a1?an)2 ； Sn(n?1)dn?na1?2
特征：Sdn?2n2?(ad1?2)n,即S2n?f(n)?An?Bn
Sn?An2?Bn(A,B为常数)是数列
?an?成等差数列的充要条件。
5．等差数列
?an?的基本性质(其中m,n,p,q?N?)
⑴若m?n?p?q，则am?an?ap?aq反
之，不成立。 ⑵an?am?(n?m)d ⑶2an?an?m?an?m
⑷Sn,S2n?Sn,S3n?S2n仍成等差数列。
６．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an?1?an?d(常数）（n?N?）??an?是等
差数列
②中项法：
2an?1?an?an?2（n?N?)??an?是等差数
列
③通项公式法：
an?kn?b(k,b为常数)??an?是等差数
列
④前n项和公式法：
Sn?An2?Bn(A,B为常数)??an?是等
差数列 课前热身 2．等差数列
?an?中，
a4?a6?a8?a10?a12?120,则a1
9?3a11的值为(C)A．14 B．15 C．16 D．17
解 a119?3a11?a9?3(a9?2d)?23(a22120
9?d)?3a8?3?5?16
4
。 3．等差数列
?an?中，a1?0，S9?S12，则前
10或11项的和最大。 解：?S9?S12，S12?S9?0
?a10?a11?a12?0，?3a11?0，?a
11?0，又a1?0∴
?an?为递减等差数列∴S10?S11为最大。
4．已知等差数列
?an?的前10项和为100，前100项和
为10，则前110项和为－110 解：∵
S10，S20?S10，S30?S20，?，S110?S100，?
成等差数列，公差为D其首项为
S10?100，前10项的和为S100?10 ?100?10?10?92?D?10，?D??22又S110?S100?S10?10D ?S110?100?10?10（??22）??110y?50n?98???n(n?1)??12n?2?4?? ??2n2?40n?98
??2(n?10)2?102所以当n?10时，ymax?102６．设等差数列
?an?的前n项和为Sn，已知
a3?12，S12?0，S13?0
①求出公差d的范围，
②指出S1，S2，?，S12中哪一个值最大，并说明理由。
dan?f(n)nanSn?an?\n?2\
解：①S12?6(a1?a12)?6(a3?a10)
?6(2a3?7d)?0?24?7d?0?d??247又S13(a1?a13)13?2?132(a3?a11) ?132(2a3?8d)?0?24?8d?0?d??3从而?247?d??3②
?S12?6(a6?a7)?0
S13?13a7?0
?a7?0，a6?0?S6最大。课外练习 一、 选择题 1． 已知
?an?数列是等差数列，a10?10，其前
10
项的和S10?70，则其公差d等于( D )
A．?23B．?13 C．13D．23 2． 已
知
等
差
数
列
?an?中，
a7?a9??16，a4?1，则a12等于（ A ）
A．15 B．30 C．31 D．64
解：?a7?a9?a4?a12?a12?15
二、填空题 3． 设
Sn为等差数列?an?的前n项和，
S4?14，S10?S7?30，则S9=54
4． 已知等差数列
?an?的前n项和为Sn，若
S12?21，则a2?a5?a8?a11?
5
高中数列知识大总结（绝对全）
