第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，
f(x0??x)?f(x0)?ylim?lim ?x?0
?x?x?0?xf(x)?f(x0)?limx?x0 x?x0dyy?x?x0?f?(x0)?dxx?x0
2．左导数：
f(x)?f(x0)f??(x0)?lim?x?x0 x?x0f(x)?f(x0)f??(x0)?lim?x?x0 x?x0
右导数：
定理：
f(x)在x0的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
f??(x0)?lim?f?(x)x?x0
（或：
f??(x0)?lim?f?(x)）
x?x03.函数可导的必要条件：
定理：
f(x)在x0处可导?f(x)在x0处连续
理
：
4. 函数可导的充要条件：
定
y?x?x0?f?(x0)存在
?f??(x0)?f??(x0)，
且存在。 5.导函数：
y??f?(x), x?(a,b)
?y
f(x)在(a,b)内处处可导。 y f?(x0) f(x) 6.导数的几何性质：
f?(x0)
是曲线
y?f(x)上点 ?x
0
M?x0,y0?处切线的斜率。 o x x ㈡求导法则
1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o
（u?v)??u??v?
2o
（u?v)??u??v?u?v?
u??v?u?v??u????2 3 (v?0) vv??o
? 3.复合函数的导数：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
或
dydydu?? ，dxdudx{f[?(x)]}??f?[?(x)]???(x)
☆注意
{f[?(x)]}?与f?[?(x)]的区别：
{f[?(x)]}?表示复合函数对自变量x求导；
f?[?(x)]表示复合函数对中间变量?(x)求导。
f??(x),f???(x),或f(n?1)(3)4.高阶导数：
(x)
f(n)(x)?[f(x)]?,(n?2,3,4?)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
f(x)在x的某个邻域内有定义，
?y?A(x)??x?o(?x)
其中：
A(x)与?x无关，o(?x)是比?x较高
o(?x)lim?0 阶的无穷小量，即：?x?0
?x 则称y?f(x)在x处可微，记作：
dy?A(x)?x
dy?A(x)dx (?x?0)
f(x)
在
2.导数与微分的等价关系：
定理：
x处可微?f(x)在x处可导，
且：
3.微分形式不变性：
f?(x)?A(x)
dy?f?(u)dudy都具有相同的形式。
例题分析
不论u是自变量，还是中间变量，函数的
微分一、
例1.设
f(x0?2?x)?f(x0)lim?1，
f?(x)存在，且? x?0?x 则
f?(x0)等于
12. [ ]
A.1, B.0, C.2, D.
f(x0?2?x)?f(x0)lim解：?x?0
?x
f(x0?2?x)?f(x0)?2lim?2f?(x0)?12?x?02?x
∴
1f?(x0)? （应选D）
2例2．设
f(x)?(x?a)?(x),其中?(x)在x?a处连
22续；求
f?(a)。
解：
f(x)?f(a)f?(a)?lim x?ax?a2222(x?a)?(x)?(a?a)?(a)?lim x?ax?a
(x?a)(x?a)?(x)?lim?lim(x?a)?(x)
x?ax?ax?a ?2a?(a)
误解：
22?f(x)?2x?(x)?(x?a)??(x)
∴
f?(a)?2a?(a)?(a?a)??(a)?2a?(a)
结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说
不一定存在。 例3．设
22?(x)可导，所以??(x)f(x)在x?1处可导，且f?(1)?2，求：
f(4?3x)?f(1)lim x?1
x?1
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