线性代数公式大全
1、行列式
1. n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关；
2nijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：M?(?1)A4. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
i?jijijAij?(?1)i?jMij
②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2n(n?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)A⑤、拉普拉斯展开式：C；
AOA??(?1)m?nABOBCOAC??ABBOB、CB
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
5. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)nk?1nkSk?n?k，其中S为k阶主子式；
k6. 证明A?0的方法： ①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵）
?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解；
??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
1
?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
0；
2. 对于n阶矩阵A：AA?AA?AE 无条件恒成立； 3. (A)?(A)(A)?(A)(A)?(A)
(AB)?BA(AB)?BA(AB)?BA
**?1**?1?1T*T?1**TT*?1TTT*?1?14. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2???，则： ???As?Ⅰ、A?A1A2?As?1A2；
???； ???As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A1?1?Ⅱ、A?1???????1?A?1?AO?②、?????OB??OOA??O③、????1???BO??A?1?A?1?AC?④、????OB???O?1?1?A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1CB????BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：?EO?F???； OOr??m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：
2
①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：
r?1?1?1(A,B?)??(E,AB；)
c③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?Ab；
?1r4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、?????????，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列ii????n??2元素；
③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)④、倍乘某行或某列，符号
?1?1?1?????k?????1??????1?E(i,j)?1??1????，例如：? ?1???1?；??1?1?????1E(i(k?)?)?1E(i(k))，且
1，)例E(i()k如：
1k???(k?0；) ?1??E(ij(k))⑤、倍加某行或某列，符号
k??k??1?1????1?1????(k?0)； ??1?1??????1,且
E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：
5. 矩阵秩的基本性质： ①、0?r(A)?min(m,n)；
m?n②、r(AT)?r(A)；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
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⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac??01b②、型如???的矩阵：利用二项展开式； ?001???
二项展开式：(a?b)nn?Ca?Cab???Ca0nn1nn?11mnn?mb???Cmn?11n?1nabmmn?m?Cb??Cnab； nnnm?0n注：Ⅰ、(a?b)展开后有n?1项；
mnⅡ、C?n(n?1)??(n?m?1)n!?1?2?3???mm!(n?m)!mn0nCn?Cn?1
Ⅲ、组合的性质：C?Cn?mnCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1； rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n①、伴随矩阵的秩：r(A*)???1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：③、A*A???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；
?AA?1、A*?An?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；
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10. 线性方程组Ax?b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b???2112222nn2①、?； ???????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11?a21②、?????am1a12a22?am2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2???Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，
???????????????amn??xm??bm?n个未知数）
?x1???x?an??2?????????xn??b1???b2?（全部按列分块，其中???）； ??????bn?③、?a1a2④、ax11?a2x2???anxn??（线性表出）
4、向量组的线性相关性
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数） 1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)； ??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?； ??????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；（矩阵方程）
3. 矩阵A与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)
4. r(AA)?r(A)；(P101例15)
5. n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；
m?nl?nT②、?,?线性相关
??,?坐标成比例或共线（平行）；
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
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