xc = － yc =
1
l ， （12） 6
3
l ． （13） 6
根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度vc的分量为
vcx = vcy =
mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα
， （14）
3m－ mv2 sinθ－mv3sinα
． （15）
3m
由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得
vcx = 0 ， （16） 5
vcy = － v0 ． （17）
12
4．讨论碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心将从坐标（xc = －l / 6 ，yc = 3l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0 / 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0 / 4的速度做匀速直线运动．A ，B ，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则vC ，vD不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有
vt = yc + vcy t （18）
将vcy ，v ，yc的值代入，得
t =
3l
． （19） 4v0
此时，D球与A ，B ，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = 因为v3 =
3l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；
3v0 / 3 ，它在x方向分量的大小为3v0 / 6．经过t时间，它沿x轴负方向经
过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．
二、
从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的
v
6
A
rse
P
ve
B
图1
距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位于圆心．设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点．
由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有
a = rse （1）
根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴
b =
r2se－ ( a － SP)2 ． （2）
由（1），（2）两式，并将a = rse = 1AU ，SP= 0.01 AU代入，得
b = 0.141AU ． （3）
在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v ，在近日点的速度为vp ，飞船的质量为m ，太阳的质量为Ms ，则有
mva sinθ = mvpSP ， （4）
式中θ为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：
b
sinθ = ． （5）
a
由机械能守恒，得
12 Msm 12GmMsmv－G = mvp － ． （6） 2a2SP因地球绕太阳运行的周期T是已知的（T = 365 d），若地球的质量为Me ，则有
G
MsMe2π2
)a ． （7） 2 = Me ( aT
解（3）～（7）式，并代入有关数据，得
v = 29.8 km / s ． （8）
（8）式给出的v是飞船在E点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从E点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度．若在E点飞船相对地球的速度为u ，因地球相对于太阳的公转速度为
7
ve =
2πa
= 29.8 km / s ， （9） T
方向如图1所示．由速度合成公式，可知
v = u + ve ， （10）
速度合成的矢量图如图2所示，注意到ve与ES垂直，有
u =
代入数据，得
u = 39.1 km / s ． （12）
u是飞船在E点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度u0 ．为了求得u0 ，可以从与地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动．因飞船相对于地球的发射速度为u0时，飞船离地心的距离等于地球半径Re ．当飞船相对于地球的速度为u时，地球引力作用可以忽略．由能量守恒，有
12Mem1mu0 －G = mu2 ． （13） 2Re2
地面处的重力加速度为
g = G
解（13），（14）两式，得
u0 = u2 + 2gRe ． （15）
由（15）式及有关数据，得
u0 = 40.7 km / s ． （16）
如果飞船在E点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变．此时，它应为
8
图2
v2 + v2e－2vvecos (
π－θ ) ， （11） 2
Me ， （14） R2e
u =
相应计算，可得另一解
v2 + v2e－2vvecos (
π+ θ ) ， （17） 2
u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s ． （18）
如果飞船进入椭圆轨道的地点改在E点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道的另一个交点上），则计算过程相同，结果不变．
三、
两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数
k =
k1k2
． （1） k1 + k2
设活塞A下面有νmol气体．当A的高度为h1时，气体的压强为p1 ，温度为T1 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知
p1Sh1 = vRT1 ， （2） p1S = kh1 + mg ． （3）
对气体加热后，当A的高度为h2时，设气体压强为p2 ，温度为T2 ．由理想气体状态方程和平衡条件，可知
p2Sh2 = vRT2 ， （4） p2S = kh2 + mg ． （5）
在A从高度h1上升到h2的过程中，气体内能的增量
3
△U = vR ( T2－T1 ) ． （6）
2
气体对弹簧、活塞系统做的功W等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即
12
W = k ( h22－h1 ) + mg (h2－h1 ) ． （7） 2
根据热力学第一定律，有
△Q =△U + W ． （8）
由以上各式及已知数据可求得
△Q =
k1k22 5
H+mgH ． （9） k1 + k24
四、
1．根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为U时，在距球心r（R1＜ r ＜R2）处，电场强度的大小为
9
E =
R1R2U
2 ． （1） R2－R1r
在r = R1 ，即导体球表面处，电场强度最大．以E（R1）表示此场强，有
E ( R1) =
R2U
． （2）
(R2－R1) R1
因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过Ek ，R2为已知，故（2）式可写为
Ek =
或
U = Ek
(R2－R1) R1
． （4） R2R2U
（3）
(R2－R1) R1
由此可知，选择适当的R1值，使(R2－R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压U为最大．不难看出，当
R1 =
R2 （5） 2
时，U便是绝缘子能承受的电压的最大值Uk ．由（4），（5）两式得
Uk =
代入有关数据，得
Uk = 155 kV ． （7）
当交流电压的峰值等于Uk时，绝缘介质即被击穿．这时，对应的交流电压的有效值
Ue =
Uk
110 kV ． （8） 2
EkR2 ， （6） 4
2．系统的等效电路如图所示．
C1
C1 C1 C1
C0 C0 C0 C0
C2 C2
C2
U0 C2
3．设绝缘子串中间三点的电势分别为U1 ，U2 ，U3 ，如图所示．由等效电路可知，与每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有
10
第24届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答
