一类1维非线性Schr?dinger方程组整体解的存在性及其
时间衰减估计
林爽， 袁新桐， 李春花*
【摘 要】摘要： 考虑一类1维非线性Schr?dinger方程组的初始值问题,采用因式分解法、能量法以及Sobolev不等式，证明了该方程整体解的存在性和解的时间衰减估计.
【期刊名称】延边大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2018(044)001 【总页数】6
【关键词】 1维非线性Schr?dinger方程组； 小初始值； 时间衰减估计
0 引言
非线性系统理论在数学、量子力学和生命科学等领域中具有广泛的应用，其中非线性Schr?dinger方程一直受到学者们的关注.近年来,有关非线性Schr?dinger方程组 (1)
的研究,已取得了不少的研究成果[1-3].1984年， J.E.Barab[4]证明了一类具有临界非线性项的Schr?dinger方程渐近自由解的非存在性.2014年, S.Katayama等[2]研究了一类具有临界非线性项的2维Schr?dinger方程组解的整体存在性及其时间衰减估计.2016年,D.Kim[3]研究了类似的具有临界非线性项的1维非线性Schr?dinger方程组解的整体存在性及其时间衰减估计.当p1>2, p2=2时,方程组(1)具有超临界和临界非线性项.目前对具有临界和超临界非线性项的Schr?dinger方程组解的长时间渐近行为的研究得较少.本文主要
研究非线性Schr?dinger方程组(1)的初始值问题,证明其整体解的存在性和解的时间衰减估计.这里x∈R, t>0, mj是微观粒子的质量, uj是未知复值函数, λj,μj∈C\\{0}, j=1,2, p1>2, p2=2.
1 预备知识
定义1 Lebesgue空间Lp(R), 若若 定义2 若m,s∈R, 1≤p<∞, Sobolev空间 为了计算简便,记 定义其中
经计算可知，因式分解公其中F 和F -1分别表示Fourier变换和Fourier逆变换,并且伽利略变换算子与有交换关系，即
2 主要结果及其证明
在陈述主要定理之前,首先给出以下假设条件: (H1) m1=m2;
(H2) 存在k1,k2∈R+, 使得 (H3) Im λj≤0, j=1,2.
假设(H2)、(H3)成立,对于方程组(1),运用能量法[1]可得
定理1 假设(H1)—(H3)成立,则存在ε>0, 当时,方程组(1)存在唯一的整体解u=(u1,u2)∈C([0,∞);H0,1∩H1), 并且解的时间衰减估计为
注1[1] 假设Im λj=0, (H1)、(H2)成立,且pj=2, j=1,2.则存在ε>0, 当时,方程组(1)存在整体解,且时间衰减估计为
注2[2-3] 假设Im λj<0, (H1)、(H2)成立,且pj=2, j=1,2.则存在ε>0, 当时,方程组(1)存在整体解,且时间衰减估计为
令这里T待定， 0<ε?1.为证明定理1,首先考虑下面引理：
引理1 假设(H1)—(H3)成立.若ε>0充分小，且<ε, 则存在T>1及方程组(1)唯一的解u=(u1,u2)∈XT， 使得
对于方程组(1)的局部解的存在性,可以用不动点定理证明[1].下面主要讨论整体解的存在性及其时间衰减估计.令 在方程组(1)等式两边同时运用算子得到 首先,考虑由于可得因此 其中
其次,考虑由因式分解公式 有其中Mmj=F MmjF -1, 由此可得应用恒等算子及其质量共振条件(H1),可得 进一步计算得
由等式其中a≠0, 可得令则再根据(H1)即得 其中因为Fj是三次非线性项,因此可得 在上式右端运用可得 其中令则有
所以方程组(1)可以写成
将上式右端的第2项分解，则有 其中：
经过以上的变换,就可以把方程组(1)改写成常微分方程组,形如 (2)
下面只考虑t≥1的情况.在等式(2)的两端同时乘并取虚部,再结合假设条件(H2),
一类1维非线性Schr
