第一章 集 合
§1.1 集合与元素
【知识要点】 1．集合的概念
由某些确定的对象所组成的整体叫做集合。集合通常用大写的英文字母A，B，C，?表示。 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素。集合的元素通常用小写的英文字母a，b，c， ?表示。
2．集合元素的特性
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 3．元素与集合的关系
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a?A；如果a不是是集合A的元素，就说a不属于A，记作a?A。
4．有限集、无限集和空集
含有有限个元素的集合，叫做有限集；含有无限个元素的集合，叫做无限集。不含任何元素的集合叫做空集，记作?。
5．常用数集 数集名称 符号
【基础训练】
1．用符号“?”或“?”填空：
（1）-1 N； （2）? Q； （3）3 R；
1（4） Z； （5）0 ?； （6）-5 Z；
21（7） Q； （8）3.14 Q。
32．下列关系式中不正确的是（ ）．
A．0?? B．0?{1，2，3，4} C．3?{x|x2-9=0} D．2?{x|x>0}
【能力训练】
1．下列对象不能组成集合的是（ ）．
A．不等式x+2>0的解的全体 B．本班数学成绩较好的同学 C．直线y=2x-1上所有的点 D．不小于0的所有偶数
1
自然数集 N 正整数集 N*或N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R §1.2 集合的表示法
【知识要点】 1．列举法
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法
用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法．描述法的一般形式为：
{x| x具有的共同特征}．
【基础训练】
1．小于5的自然数组成的集合用列举法表示为 ． 2．方程x+1=0的解集用列举法表示为 ． 3．下列元素中属于集合{x| x=2k，k?N}的是（ ）。 A．-2 B．3 C．10 D．? 4．下列元素中不属于集合{x| 2x-3<0}的是（ ）。 A．-1 B．0 C．1 D．2 【能力训练】
1．用列举法表示下列集合：
（1）绝对值小于3的所有实数组成的集合；
（2）｛x| x2-2x-3=0｝．
§1.3 集合之间的关系
【知识要点】 1．子集
对于两个集合A与B，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（即若x?A，则x?B），那么集合A叫做集合B的子集，记作A? B或B? A．
根据子集的定义，我们可以得出，任何一个集合是它自身的子集，即A? A． 我们规定：空集是任何集合的子集，即?? A． 2．真子集
2
对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作A
B或B
A．
A．
显然，空集是任何非空集合的真子集，即，若A是非空集合，则?3．集合相等
如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等，记作A=B． 显然，A?B且B?A?A=B． 【基础训练】
1．用适当的符号（?，?，
，
，=）填空：
（1）3 {3}； （2）-2 N； （3）{a，b} {b，a}； （4）{3,5} {5}； （5）Z Q； （6）2 {x| x<1}。 2.下列集合中，不是集合{1,2,3}的子集的是（ ）．
A．{1，2} B．{1，3} C． {2，4} D． ? 3．写出集合{1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
【能力训练】
1．用适当的符号（?，?，
，
，=）填空：
（1）{x|x>1} {x|x>2}； （2）? {0}； （3）{x|x2-3x+2=0} {1，2}. 2．下列正确的是（ ）．
A．0?? B．{0}=? C．??{0} D． ?
{0}
3.集合A={x|1 B B．A?B C．B A D．B=A §1.4 集合的运算 【知识要点】 1．交集 给定两个集合A,B，由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B，即 A∩B={x| x?A且x?B}． 2．并集 3 给定两个集合A,B，把它们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，即 A∪B={x| x?A或x?B}． 3．补集 如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集合U，那么这个集合U叫做全集.如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA，即 CUA={x| x?U且x?A}． 【基础训练】 1．已知A={0，1，3，5}，B={0，2，4}，那么A∩B =（ ）． A．{1，3，5} B．{0，2，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{0} 2.已知A={a，b，c，d}，B={b，d，e，f}，那么A∪B=（ ）． A．{b，d} B．{a，b，c，d，e，f} C．{c，e，f} D．? 3．设全集U={a，b，c，d，e，f}，A={a，c，e}，那么CUA=（ ）． A．{a，c，e} B．{b，d，f} C．{a，b，c，d，e，f} D．? 4．{5，6，7，8，10}∪{5，6，8，9}= ． 5．{1，2，3}∩{2}= ． 【能力训练】 1．{x| x>3}∩{x| x>4}= ． 2．{x| 1 x>1} ，则CUA =（ ）． A．{x| x<1} B．{ x| x?1} C．{ x| x?1} D．R 4．设A={x| x>1}，B={ x| x?5}，那么A∩B=（ ）． A．? B．{ x| 1 x?5}，那么A∪B=（ ）． A．{x| x>1} B．{ x| x?1} C．{x| x>5} D．{ x| x?5} 6．已知U={0，1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5，6}，求A∩B，A∪B，CUA ， CU（A∩B）． 4 §1.5 充要条件 【知识要点】 1． 充分条件、必要条件 若命题“如果p，那么q”是正确的，即p?q，那么我们就说p是q的充分条件，或q是p的必要条件。 2．充要条件 若p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件，也称p与q是等价的，或称p等价于q，记作p?q。 【基础训练】 1．用符号“?、?、?”填空： （1）“a=3，b=2” “a+b=5”； （2）“ab=0” “a=0”； （3）“x2=1” “x=±1”。 2．下列各组条件中，p是q的什么条件？ （1）p：a是整数；q：a是自然数。 （2）p：四边形是正方形；q：四边形是平行四边形。 【能力训练】 1．若p：x>1，q： x>2，则p是q的（ ）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设p是q的充分不必要条件，q是r的充要条件，则p是r的（ ）。 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5
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