泊松过程的随机模拟及参数估计

泊松过程的随机模拟及参数估计

王丙参1，李艳颖2，魏艳华1

【摘 要】摘要：研究了泊松过程的随机模拟，给出泊松过程的最大后验密度可信区间，借助Matlab软件对此展开探讨并给出了模拟程序。 【期刊名称】齐齐哈尔大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2012(028)001 【总页数】3

【关键词】泊松过程；随机模拟；参数估计；贝叶斯区间估计

泊松过程（p.p）在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域都有广泛的应用，如经典风险模型中，索赔过程常用一个复合p.p来描述，因此对p.p的模拟及参数估计意义非凡[1～4]。签于此，本文研究了p.p的随机模拟，给出p.p的最大后验密度可信区间，借助Matlab语言对此展开探讨并给出了模拟程序。

1 泊松过程的随机模拟

令Xn (n＞1)表示第n?1次事件与第n个事件到达时间的间隔，则称为到达时间间隔序列。由于p.p具有独立增量，所以某一时刻事件到达的情况与这一时刻以前的情况独立。由于过程有平稳增量，知其分布也与先前那段时间的过程是一样的，具有无记忆性，但从初等概率论中知道，具有无记忆性的连续分布只有指数分布，这正是本命题的结论。

定理1[5] 计数过程{N( t), t≥0}是强度为λ的泊松过程

用Sn表示第n个事件出现的时刻，即称Sn为直到第n个事件出现的等待时间，也称到达时间。指数分布是Γ分布的一种特殊情形(n=1)，由Γ分布的可

加性易得定理2。

定理2[1]是参数为λ的p.p，Sn ,n≥1为其第n次到达时刻，则对?[0,+∞)上的可积函数

因为p.p有平稳独立增量，事件在[0,t]的任何相同长度的子区间内发生的概率都是相等的，所以在已知[0,t]内发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻S1,…,Sn （不排序）可看做相互独立的U[0,t]。

定理3[5] 在N( t)=n的条件下n个事件的到达时间S1,…,Sn的联合密度等于n个独立的U[0,t]随机变量（r.v）的顺序统计量的密度函数（pdf）。

方法1 由定理可知强度为λ的p.p的点间间距Xn ,n=1,2,…，i.i.d于exp(λ)，即对?t≥0，基于这一事实，有 （1）令S0=0和t0=0。

（2）对于n=1,2,…，生成均匀随机数ui，令则知ti为exp(λ)随机数。令就是要模拟p.p的一个实现；从而由序列u1,…,un 可实现对N( t)过程的模拟， 方法2 由于n个点发生的时间S1,…,Sn 与n个独立同分布U(0,T]的次序统计量有相同分布，于是有

（1）给定T＞0，生成P(λT)随机数x。

（2）假定x=n，独立生成n个均匀随机数u1,…,un ，由小到大次序排列得令就是要模拟泊松过程的一个实现。例1 某城市火警中心白天8: 00～16: 00接收报警电话可视为p.p，假如平均每小时有3次报警电话，试模拟该过程。 解 Matlab程序为 c=[]；

k=input（'输入泊松过程记录次数k='）；

d=input（'输入远大于期望次数的数字d='）； t=linspace（0.01，8，k）；

for i=1：kn=0；b=1；for j=1：db=b*rand（1）； if b>=exp（-3*t（i））n=n+1； end end c=[c,n]；

end plot（t，c，'r*'，'MarkerSize'，5）。

当k=32，d=100时，模拟结果如图1。当k=48，d =100时，模拟结果如图2。

通过上述模拟，可对报警点的报警电话情况有一个了解：在白天的8 h内，报警电话数8 h内总数一般不超过30个。

2 泊松过程的参数估计

由于强度为λ的p.p的点间间距Xn,n=1,2,…，i.i.d于exp(λ)，故对p.p的参数估计就可转化为exp(λ)的参数估计。设X1,…,Xn是来自指数分布的样本，样本观测值为x1,…,xn，显然λ的矩估计及最大似然估计为对于给定置信度γ=1?α可得λ的置信区间为由于χ2的pdf是偏态的，因此上述按概率对称求得的λ置信区间不是最短的，即不是最优的[6]。令P(c＜Y＜d)=1?α，此时λ的置信区间为区间长度对c, d求偏导并等于0可得从而有f( c)=f( d)。求得λ可信水平为1?α的最优区间估计为其中

贝叶斯统计推断利用了先验知识，往往收到较好的效果，尤其对于小样本。若取λ的先验分布为其共轭分布Γ(a, b)，由于所以λ的后验分布为从而λ的可信水平为1?α的可信区间长度为要使可信区间长度最短，即d?c最小，于是，令L=d?c+μf( d,2(n+a ))=0，从而有f( c,2(n+a))=f( d,2(n+a ))。