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2021届高考数学一轮复习训练第11讲条件概率与正态分布

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第11讲 条件概率与正态分布

1.(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( )

75

A. B. C.5 D.3 33

2.设随机变量X~N(3,1),若P(X>4)=p,则P(2≤X≤4)=( ) 1

A.+p B.1-p 2

1

C.1-2p D.-p

2

3.夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江,历经三千多公里的溯流搏击,回到金沙江一带产卵繁殖.产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海,一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )

A.0.05 B.0.007 5 11C. D. 36

4.在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则ξ在(0,80)内的概率为( )

A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2

5.(2018年皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名?( )

A.1 500 B.1 700 C.4 500 D.8 000 6.在如图X9-11-1所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分[曲线C为正态

分布N(0,1)的密度曲线]的点的个数的估计值为( )

图X9-11-1

A.2386 B.2718 C.3414 D.4773

7.(2018年山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位:cm)服从正态分布(165,52),则适合身高在155~175 cm范围内的校服大约要定制( )

A.683套 B.954套 C.972套 D.997套

8.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数μ=14,标准差σ=2,绘制如图X9-11-2所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.

(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率):

①P(μ-σ<X<μ+σ)≥0.6827; ②P(μ-2σ<X<μ+2σ)≥0.9545; ③P(μ-3σ<X<μ+3σ)≥0.9973.

评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线.试判断该生产线是否需要检修;

(2)将数据不在(μ-2σ,μ+2σ)内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E(Y).

图X9-11-2

9.“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2020年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,检测结果如频率分布直方图X9-11-3所示.

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);

(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;

②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望.

附:①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为μσ=142.85≈11.95; ②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ

图X9-11-3

10.某工厂改造一废弃的流水线M,为评估流水线M的性能,连续两天从流水线M生产零件上随机各抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:

第一天 合直径/ 559 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第二天 合直径/ 560 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 mm 8 计 件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100 记抽取的零件直径为X,经计算,第一天样本的平均值μ1=65,标准差σ1=2.2;第二天样本的平均值μ2=65,标准差σ2=2.

(1)现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能.

(ⅰ)计算这两天抽取200件样本的平均值μ和标准差σ(精确到0.01);

(ⅱ)现以频率值作为概率的估计值,根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率): ①P(μ-σ

评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为优;仅满足其中两个,则等级为良;若仅满足其中一个,则等级为合格;若全部不满足,则等级为不合格,试判断流水线M的性能等级.

(2)将直径x在(μ-2σ, μ+2σ]范围内的零件认定为一等品,在(μ-3σ, μ+3σ]范围以外的零件认定为次品,其余认定为合格品.现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个,设ξ为抽到次品的件数,求ξ的分布列及其期望.

附注:参考数据:4.42≈2.102,44.2≈6.648,442≈21.024;

1n(xi?x)2. 参考公式:标准差σ=?ni?1

第11讲 条件概率与正态分布

1.A 2.C

3.C 解析:记雌性个体能长成熟为事件A,则P(A)=0.15,能成功溯流并产卵繁殖为事

P?AB?1

件B,则P(AB)=0.05.由条件概率知P(B|A)==.故选C.

P?A?3

4.B 解析:根据正态曲线的对称性可知,ξ在(80,100)内的概率为0.4,∵ξ在(0,100)内的概率为0.5,∴ξ在(0,80)内的概率为0.1.故选B.

11

5.A 解析:∵学生的数学成绩X~N(98,100),∴P(X≥108)=[1-P(88

22

1

-P(μ-σ

2

0.1587×9450≈1500名.故选A.

1

6.C 解析:根据正态分布的性质,P(0

2

7.B 解析:P(155<ξ<175)=P(165-5×2<ξ<165+5×2)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%=954套.故选B.

8.解:(1)由题意知,μ=14,σ=2,由频率分布直方图得

P(μ-σ<X<μ+σ)=P(12<X<16)=(0.29+0.11)×2=0.8>0.6827,

P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(10<X<18)=0.8+(0.04+0.03)×2=0.94<0.9545, P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(8<X<20)=0.94+(0.015+0.005)×2=0.98<0.9973. ∵不满足至少两个不等式成立,∴该生产线需检修.

47

(2)由(1)知P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.94=,

503

∴任取一件是次品的概率为0.06=.

50

任取两件产品得到的次品数Y的可能值为0,1,2,

47?22209

则P(Y=0)=??50?=2500;

473141

P(Y=1)=C1×=; 2×50501250

3?29

P(Y=2)=?=?50?2500. ∴Y的分布列为

Y 0 1 2 22091419P 250012502500220914193∴E(Y)=0×+1×+2×=.

25001250250025

9.解:(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x为: x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5. (2)①∵Z服从正态分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,

∴P(14.55

14,?, ②根据题意得X~B??2??1?4=1; P(X=0)=C04

?2?16

?1?4=1; P(X=1)=C14

?2?4?1?4=3; P(X=2)=C24

?2?81?41?P(X=3)=C34

?2?=4; ?1?4=1. P(X=4)=C44

?2?16

∴X的分布列为

X P 0 1 161 1 42 3 83 1 44 1 161

∴E(X)=4×=2.

2

10.解:(1)(ⅰ)依题意: 200个零件的直径平均值为μ=65. 由标准差公式得: 第一天:则σ2=

?i?1100(Xi-65)2=100σ21=484,第二天:

?i?1100(Xi-65)2=100σ22=400,

11001

(Xi-65)2=(484+400)=4.42,

200200

?i?1故σ=4.42≈2.10 ;

164

(ⅱ)由(1)可知:P(μ-σ

200

189

P(μ-2σ

200196

P(μ-3σ

200

仅满足一个不等式,判断流水线M的等级为合格. (2)可知200件零件中合格品7个,次品4个, ξ的可能取值为0,1,2,则

1

C221C177C428

P(ξ=0)=2=;P(ξ=1)=2=;

C1155C1155C264

P(ξ=2)=2=.

C1155

ξ的分布列

ξ 0 1 2 21286P 555555212868则E(ξ)=0×+1×+2×=.

55555511

2021届高考数学一轮复习训练第11讲条件概率与正态分布

第11讲条件概率与正态分布1.(2015年广东湛江一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为()75A.B.C.5D.3332.设随机变量X~N(3,1),若P(X>4)=p,则P(2≤X≤4)
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