南通市2020届高三数学第二次调研测试
讲评建议
第13题
uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuurA7A8??cos?A6A7，A7A8?， 解法1 A6A7?A7A8?A6A7?A7A8cos?A6A7，uuuuruuuurA7A8???， 记∠A6OA7??，则?A6A7，uuuuruuuur 所以A6A7?A7A8?cos??6?42 ．
77解法2 以A7为原点，A7O，A8A7分别为x轴，y轴建立直角坐标系，
??0?，A8??1，0?，A6?1，6? A7?0，7??7uuuur?1r?uuuu，?6?，A7A8???1，0?， 于是A6A7???77??uuuuruuuur 所以A6A7?A7A8?6?42．
77本题还可进一步研究以下问题: 图（1）是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，它可以形成近似的等角螺线﹒
uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuur则问题1. OA1?OA2+OA2?OA3+…+OA7?OA8的值为 ▲ ﹒
uuuuuruuuuur问题2. A6A7?A6A8的值是 ▲ ．
第14题
解法1 由log2x?a解得，x?2a.若2a?4，则方程f(x)?m至多有2个根，不合；
当2a?4，即a?2时，一定存在实数m，使得方程由f(x)?m由4个根，
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设x1?x2?x3?x4，
由a?log2x1?log2x2?a得，x1x2?4a，由x3?8?x2,x4?8?x1，
22222222?x2?x3?x4?x1?x2?(8?x2)2?(8?x1)2?2(x1?x2)?16(x1?x2)?4a?1， 所以y?x1由0?a?log2x1?2?a解得，22a?2?x1?2a， 4a令t?x1?x2?x1?，则t在(22a?2,2a)上递减，
x1所以t?(2a?1,22a?2?4)，
所以y?2t2?12t?72?4a?1，要使得y在t?(2a?1,22a?2?4)上存在最小值， 当且仅当2a?1?4，解得a?1. 故实数a的取值范围是(??,1).
解法2 由log2x?a解得，x?2a.若2a?4，则方程f(x)?m至多有2个根，不合；
当2a?4，即a?2时，一定存在实数m，使得方程由f(x)?m由4个根， 设为x1?x2?x3?x4，
由a?log2x1?log2x2?a得，x1x2?22a，由x3?8?x2,x4?8?x1，
2222222?x2?x3?x4?x1?x2?(8?x2)2?(8?x1)2?2(x12?x2)?16(x1?x2)?128 所以y?x1 ?2?x1?x2??16?x1?x2??128?4a?1
当x1?x2?4时取最小值，又 x1?x2?2x1x2?2a?1
于是2a?1?4，a?1， 故实数a的取值范围是(??，1).
解法3 由log2x?a解得，x?2a.若2a?4，则方程f(x)?m至多有2个根，不合；
当2a?4，即a?2时，一定存在实数m，使得方程由f(x)?m由4个根， 设为x1?x2?x3?x4，
2x2?2a?m，x3?8?2a?m，x4?8?2a?m得， 由x1?2a?m，222y?x12?x2?x3?x4?4a?m?4a?m??8?2a?m???8?2a?m?22
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?4a?m?4a?m??8?2a?m???8?2a?m??24a?m?4a?m?162a?m?2a?m?128，
22????令t?2a?m?2a?m，原式?2t2?16t?128?4a?1
当t?4时取最小值，所以2a?m?2a?m?4?22a?m?2a?m?2a?1 解得a?1. 故实数a的取值范围是(??，1). 第17题
（2）【法3】显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y?k(x?2)，即kx?y?2k?0，
(x?3)2?y2?1，所以圆心C(3,0)到直线l的距离d?由（1）知圆C：|k|1?k2，
?|k|所以AM?21?d2?21???2?1?k?2??， ?21?k?2联立直线l与椭圆E的方程消去y得，
?4k2?3x2?16k2x?16k2?12?0， ※
?因为A是直线l与椭圆C的一个交点，所以x?2是方程（※）的一根，
?8k2?612k??? N,?所以2?xN?，，所以x?N2222??4k?34k?3?4k?34k?3?16k2?128k2?6222???8k?612k121?k????0?2?2所以AN??， ??22??4k?34k?34k?3????2121?k212212由AN?AM，所以， ??2774k2?31?k解得k2?1，所以k??1.
所以直线l的方程为x?y?2?0或x-y?2?0.
yN?，M?xM，yM? 【法4】设N?xN，uuuruuur因为AN?12AM， 所以AN??12AM
77uuuruuurAN??xN?2，yN?，AM??xM?2，yM?，
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南通市2020届高三数学第二次调研测试
