◆镇江市丹徒高级中学2016级高二数学教学案 ◆选修1-1 高二 班 姓名 编号：2 课 题：3.1.2 瞬时变化率-导数
前置学案：
1．平均变化率：函数f(x)在区间?x1，x2?上的平均变化率为 ． 即曲线上两点的连线（割线）的斜率．
显然平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势．
2．如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P附近的曲线的研究）
（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法．）
（1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？
（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 ．
这种思维方式就叫做“逼近思想” ．
23．求函数f(x)?x在点（2，4）处的切线斜率．
P P 放大 放大 P P P 放大 放大 P ?yf(2??x)?f(2)??__________，故斜率为__________． ?x?x
24．直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V?t?1，求t?to时的瞬时速度．
?Vv(to??t)?v(to)??__________，故瞬时速度为__________． ?t?t
一、数学建构（知识梳理）
一般地，过曲线y?f(x)上一点P(x0,y0)作曲线的割线PQ，当Q点沿着曲线无限趋
近于P点时，若割线PQ趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y?f(x)在点P处的切线．
为了更好地反映点Q沿曲线向点P运动，我们选择了一个变量?x．不妨设
P(x，f(x))，Q点的横坐标为x??x，则Q点的纵坐标为 ，则割线PQ的斜
率为：
kPQ? = ，当点Q沿着曲线向点P无限靠
近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点P处切线斜率，即当?x无限趋近于0时，
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◆镇江市丹徒高级中学2016级高二数学教学案 ◆选修1-1 高二 班 姓名 编号：2 f(x??x)?f(x)无限趋近点P(x，f(x))处切线斜率（即为?x取0时kPQ的值）．
?x1．导数的定义：设函数y?f(x)在区间________上有定义，x0?________，若?x无限趋
近于____时，比值
?yf(x0??x)?f(x0)无限趋近于一个______A，则称f(x)在??x?xx?x0处可导，并称该______为函数f(x)在x?x0处的导数，记作f'(x0)．
2．求导数的步骤：
①求函数的增量：?y? ； ②求平均变化率：
?y? ； ?x'③取极限，得导数：f(x0)? ．
上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限．
3．导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于_____点__________处的_________________，即
f?(x0)?______．
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：
①求出P点的坐标；②求出函数在点x0处的瞬时变化率f?(x0)，得到曲线在点
(x0,f(x0))的切线的斜率k；③利用点斜式求切线方程．
4．导函数的概念：f(x)的对于区间________上任意点处都可导，则f(x)在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为f(x)的导函数，记作f?(x)． 5．瞬时速度是运动物体的___________对于________________，即v(t)=____________． 6．瞬时加速度是运动物体的___________对于________________，即a(t)=__________．
基础训练
1.设f(x)??6． x（1）函数f(x)在区间[1,2]，[1,1.5]，[1,1.1]上的平均变化率各是多少？
（2）函数f(x)在x?1处的瞬时变化率是多少？
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◆镇江市丹徒高级中学2016级高二数学教学案 ◆选修1-1 高二 班 姓名 编号：2 三、例题选讲
2例1．已知f(x)?x，求曲线y?f(x)在x?2处的切线的斜率．
例2．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设ts时的速度为v(t)?t?3，求t=t0s时
2轿车的加速度．
例3．已知 f(x) =x?2. （1）求f(x)在x?1处的导数； （2）求f(x)在x?a处的导数．
例4．如图，函数y?f(x)的图象在点P处的切线方程 是y??2x?9，则f(4)?f'(4)值为 ．
2四、 变式训练
1.用割线逼近切线的方法，求曲线y?
2.已知函数f(x)?(2x?1)，求f(x)在x?3处的切线．
3.求函数y?
4.设f(x)?ax?b，若f?(1)?2，f(2)?1，则a? ，b? ．
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在x?1处切线的斜率． x
x在x?1处的导数；
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◆镇江市丹徒高级中学2016级高二数学教学案 ◆选修1-1 高二 班 姓名 编号：2
《瞬时变化率-导数》当堂检测
21．运用割线逼近切线的方法，分别求曲线y?x在x?0，x??2，x?3处的切线斜率．
2．一质点的运动方程为S?t?10（位移单位：m；时间单位：s），求该质点在t?3时的瞬时速度．
3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设ts时的速度为v(t)?(t?2)?1，求t=1s时轿车的瞬时加速度．
4．已知函数y?f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y?221x?2，那么2f(1)?f?(1)? ．
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◆镇江市丹徒高级中学2016级高二数学教学案 ◆选修1-1 高二 班 姓名 编号：2 《瞬时变化率导数》课后作业
1．已知曲线y?x的一条切线的斜率是?4，求切点的坐标．
2.．一做直线运动的物体，其位移s与时间t 的关系式是s?3t?t．
（1）求此物体的初速度；（2）求t=0到t=2的平均速度．（3）求此物体在t=2时的瞬时速度；
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3．设f(x)?ax?4，若f?(1)?2，则a等于___ __．
4．求函数y?2x?3x在x??1处的导数．
5．已知函数f(x)?
6．求函数y??2x在x?1处的导数．
课堂小结： 32x?1，求f(x)在x?2处的导数．
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选修1-1瞬时变化率导数(学生版)
