物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。第3讲 解析几何的综合问题
[考情考向分析] 江苏高考解析几何的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．
热点一 最值、范围问题
x2y2
例1 (20182南通模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点，右焦点分别为A，F，右准线为m，
a2b2
(1)若直线m上不存在点Q，使△AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
→3→4→
(2)在(1)的条件下，当e取最大值时，A点坐标为(－2,0)，设B，M，N是椭圆上的三点，且OB＝OM＋ON，
55
求以线段MN的中点为圆心，过A，F两点的圆的方程．
解 (1)设直线m与x轴的交点是R，
即
依题意FR≥FA，
a2a2ac1
－c≥a＋c，≥a＋2c，≥1＋2，≥1＋2e，cccae
12
2e＋e－1≤0,0 2 1 (2)当e＝且A(－2,0)时，F(1,0)，故a＝2，c＝1, 2 所以b＝3， 物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。 x2y2 椭圆方程是＋＝1， 43 x21y21x22y22 设M(x1，y1)，N(x2，y2) ，则 ＋＝1，＋＝1. 4343 →3→4→ 由OB＝OM＋ON， 55 434??3 得 B?x1＋x2，y1＋y2?. 555??5 因为B是椭圆C上一点， 所以即? ?3x1＋4x2?2?3y1＋4y2?2 ?5??5?5?5??? 4 ＋3 ＝1， 1y21?3?2?x22y22??4?23?x2＋?＋?＋???＋222???5?43??5??43??5? 4?x1x2y1y2?x1x2y1y2＋＝1，＋＝0，①??3?5?443 ?1y1＋y2?， 因为圆过A，F两点， 所以线段MN的中点的坐标为?－，?2??2 又? ?y1＋y2?2＝1(y2 1＋y2＋2y1y2)??2?4 1??x22?1??x2?＝?3?1－?＋3?1－?＋2y1y2?，②4??4?4??? 由①和②得? ?y1＋y2?2 ??2? 1??x22??x1x2??1??x2 ＝?3?1－?＋3?1－?＋3?－?4??4??2?4????3 ＝错误!＝错误!2错误!＝错误!，4 21??1 所以圆心坐标为?－，±?， 4??2 21?257?1?2?故所求圆的方程为?x＋?＋?y±?＝.?2??4?16思维升华 处理求最值的式子常用两种方式 (1)转化为函数图象的最值． (2)转化为能利用基本不等式求最值的形式．若得到的函数式是分式形式，函数式的分子次数不低于分母时，可利用分离法求最值；若分子次数低于分母，则可分子、分母同除分子，利用基本不等式求最值(注意 出现复杂的式子时可用换元法)． 1?x2y23?跟踪演练1 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点?－3，?在椭圆C上． 2?a2b22? (1)求椭圆C的标准方程； 物类之起，必有所始。荣辱之来，必象其德。肉腐出虫，鱼枯生蠹。怠慢忘身，祸灾乃作。强自取柱，柔自取束。邪秽在身，怨之所构。施薪若一，火就燥也，平地若一，水就湿也。草木畴生，禽兽群焉，物各从其类也。是故质的张，而弓矢至焉；林木茂，而斧斤至焉；树成荫，而众鸟息焉。 (2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH＝1，求△POQ面积的最大值． 1 4c33 解 (1)由已知得＝，＋＝1， a2a2b2 解得a＝4，b＝1， 2 2 x22 椭圆C的标准方程是＋y＝1. 4(2)设l与x轴的交点为D(n,0)， 直线l：x＝my＋n，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， x＝my＋n，??联立?x2 ＋y2＝1，??4 得(4＋m)y＋2mny＋n－4＝0， 222 Δ＝16(m－n＋4)＞0， 22 y1,2＝错误!， y1＋y2mnn2－4 所以＝－，y1y2＝， 24＋m24＋m2 x1＋x2所以＝错误!＝错误!， 2 ?4n，－mn?，即H?4＋m2??4＋m2? 由OH＝1，得n＝错误!， 2 11 则S△POQ＝2OD2|y1－y2|＝|n||y1－y2|， 22 n2(y1－y2)2＝n2[(y1＋y2)2－4y1y2] ＝123163错误!.设t＝4＋m(t≥4)， 2 则错误!＝错误!＝错误!≤错误!， 144 当且仅当t＝，即t＝12时取等号，此时S△POQ＝1， t 所以△POQ面积的最大值为1. 热点二 定点问题 x2y2 例2 (20182全国大联考江苏卷)如图，已知A，B是椭圆＋＝1的长轴顶点，P，Q是椭圆上的两点， 43 且满足kAP＝2kQB，其中kAP，kQB分别为直线AP，QB的斜率． (1)求证：直线AP和BQ的交点R在定直线上；
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲解析几何的综合问题学案
