1．设函数y??y'()。 y'(0)，求，costdt?04x【解】由题设得y'(x)?cosx，
于是得 y'(0)?cos0?1，y'()?cos??44?2。 22．计算下列各导数：
dx22⑴1?tdt； ?0dxdx222d224?1?(x)(x)【解】。 1?tdt?2x1?x?0dxdxd1tedt； ⑵
dx?xxd1tdedt?(??etdt)??e【解】?dxxdx1xdex(x)??。 dx2xdcosx2cos(?t)dt； ?sinxdxcosxdcosxd022cos(?t)dt?[?cos(?t)dt??cos(?t2)dt] 【解】?0dxsinxdxsinx⑶
》
d0dcosx22cos(?t)dt?cos(?t)dt
??sinx0dxdxsinxddcosx?[??cos(?t2)dt]??cos(?t2)dt dx0dx0dd??cos(?sin2x)(sinx)?cos(?cos2x)(cosx)
dxdx???cos(?sin2x)cosx?cos[?(1?sin2x)](?sinx)
??cos(?sin2x)cosx?cos(???sin2x)sinx
??cos(?sin2x)cosx?cos(?sin2x)sinx
?cos(?sin2x)(sinx?cosx)。
dx21dt。 ⑷?lnxdxtx21dx21d11dt?[?dt??dt] 【解】
1tdx?lnxtdxlnxtd11dx21??dt??dt dxlnxtdx1t…
lnx1ddx21?[??dt]??dt
dx1tdx1t1d1d2??(lnx)?2(x)
lnxdxxdx111????2?2x
lnxxx1211????(2?)。
xlnxxxlnx3．设函数y?y(x)由方程【解法一】方程
?xy0etdt??costdt?0所确定，求
0xdy。 dx?y0etdt??costdt?0中完成积分即为 et0yy0?sintx0?0，
y亦即为 (e?1)?sinx?0，得知e?1?sinx，
解出y，得y?ln(1?sinx)， 于是得
【解法二】在方程
cosxdy1d?cosx?。 ?(1?sinx)?dx1?sinxdx1?sinxsinx?1?y0etdt??costdt?0两边对x求导，注意到y?y(x)，得
0—
x
xdytd[?edt??costdt]?(0)
0dx0dxyd(y)?cosx?0， 即得 edxdydycosxydy?cosx?0，解出，得??y， 亦即edxdxdxe方程
?y0edt??costdt?0中完成积分即为 et0ytxy0?sintx0?0，
y亦即为 (e?1)?sinx?0，得知e?1?sinx，
dycosx??y中， dxedycosxcosx???得。 dx1?sinxsinx?1ttdy4．设x??sinudu，y??cosudu，求。
00dx再将e?1?sinx代入
y【解】问题是由参数方程求导
dydtcosudu?dydtcost0??cott。 ?【解法一】?dttdxddxsintsinududtdt?0~
【解法二】
dycostdtcost???cott。 ?0tdxdsinudusintdtsint?0d?cosudut
5．求下列极限： ⑴limx?0?x0cost2dtx；
【解】这是“
0”未定型极限，应用洛必达法则，得 0?limx?0xx0cost2dtxcosx2?lim?cos02?1。 x?01?⑵limx?00arctantdtx2；
【解】这是“
0”未定型极限，应用洛必达法则，得 0?limx?0x0arctantdtx2?limarctanx ---- 应用洛必达法则
x?02x121?x?lim ---- 再次应用洛必达法则 x?02$
111???。
21?022⑶limx?0?x201?t2dtx2；
【解】这是“
0”未定型极限，应用洛必达法则，得 0?limx?0x201?t2dtx21?(x2)2(x2)' ---- 应用洛必达法则 ?limx?02x1?x4?2x ---- 完成求导(x2)' ?limx?02x?lim1?x4 ---- 整理
x?0?1?04?1。
5.2 微积分基本公式-习题
