《数值分析》数值实验 XXX
追赶法求解三对角线性方程组
一 实验目的
利用编程方法实现追赶法求解三对角线性方程组。 二 实验内容
1、 学习和理解追赶法求解三对角线性方程组的原理及方法； 2、 利用MATLAB编程实现追赶法； 3、 举例进行求解，并对结果进行分。 三 实验原理
设n元线性方程组Ax=d的系数矩阵A为非奇异的三对角矩阵
?a1c1??b2a2c2????A=?………??
…a(n?1)c(n?1)???b(n)a(n)???这种方程组称为三对角线性方程组。显然，A是上下半宽带都是1的带状矩阵。设A的前n-1个顺序主子式都不为零，根据定理2.5的推论，A有唯一的Crout分解，并且是保留带宽的。
?l1??1u1??m2l2???1u2 ????????A………… ?LU??????…l(n?1)1u(n?1)? ???? m(n)l(n)?1??????
其中L是下三角矩阵，U是单位上三角矩阵。利用矩阵相乘法，可以
0
《数值分析》数值实验 XXX
得到：
l1?a1l1?u1?c1u1?c1/l1mi?bi(2?i?n)a(i?1)?m(i?1)ui?l(i?1)(1?i?n?1)ci?li?uiui?ci/lil(i?1)?a(i?1)?b(i?1)uiy?Ux，则有：
由上列各式可以得到L和U。 引入中间量y，令
已知
Ax?LUx?Ly?dLy?dL和d，可求得y。
?l1??y1??d1??m2l2??y2??d2???????????…???…?……??????…l(n?1)y(n?1)d(n?1)???????m(n)l(n)?????y(n)????d(n)??则可得到y的求解表达式：
y1?d1/l1i?2,3,…,nm(i)y(i?1)?li*y(i)=di y(i)?[di?m(i)y(i?1)]/li
1
《数值分析》数值实验 XXX
由
y?Ux得：
?1u1??x1??y1????x2??y2?1u2??????????…???…?……??????
1u(n?1)x(n?1)y(n?1)???????1?????x(n)????y(n)??可得到X的求解表达式：
x(n)?y(n)i?n?1,n?2,…,1x(i)?y(i)?u(i)x(i?1)从而得到Ax=d的解x。 四 Matlab编程
根据以上的实验原理，在Matlab中编程如下函数x=Trid（A,d） function x=Trid(A,d) 追赶法求解三对角的线性方程组 Ax=d % % b为主对角线元素，a，c分别为次对角线元素，d为右端项 % A=[ a1 c1 % b2 a2 c2
% ......
% b(n-1) a(n-1) c(n-1) % b(n) a(n) ] % a=[a1...a(n)] % 把系数矩阵的三对角转变成3个列向量 % b=[0 b2...b(n)] % 不足的元素用0代替 % c=[c1...c(n-1) 0]
2
追赶法求解三对角线性方程组
