专题五 数学方法（3）极值问题
【方法点津】
求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法。物理方法即用临界条件求极值。数学方法主要有:三角函数极值法、二次函数极值法、不等式极值法、一元二次方程判别式法等.其它还有如导数法求解。一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模能力要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。 1.利用三角函数求极值
(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=Asin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=sin
2θ,当θ=45°时,y有最大值,ymax=.
(2)和差角公式法:如果所求物理量的表达式为y=asin θ+bcos θ,通过和差角公式转化为y=
sin(θ+φ),当θ+φ=90°时,y有最大值,ymax=
.
2.利用二次函数求极值
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0),当x=-为极小值;a<0时,ym为极大值). 3.利用均值不等式求极值
时,y有极值ym=(a>0时,ym
对于两个大于零的变量a、b,若其和a+b为一定值,则当a=b时,其积ab有极大值;若其积ab为一定值,则当a=b时,其和a+b有极小值. 【典例突破】
利用数学方法求极值
分析求解物理量在某物理过程中的极大值或极小值是很常见的物理问题,这类问题的数学解法
有很多,
【例1】重为G的木块与水平面间动摩擦因数为μ,一人欲用最小的作用力F使木块沿地面匀速运动,则此最小作用力的大小和方向如何?
【解析】 如图所示,木块受重力G、地面的支持力FN、摩擦力f和施加的外力F四个力作用.设力F与x轴夹角为θ,由共点力平衡条件得 Fcos θ=f Fsin θ+FN=G 且有f=μFN
联立以上各式得F=利用和差角公式变形为
F=其中tan φ=
当sin(θ+φ)=1时,F有极小值Fmin=F与x轴夹角θ=arctan μ.
,
【答案】] 方向与水平方向夹角为arctan μ,斜向上方
【练1】如图所示，质量为M?2kg的木块与水平地面的动摩擦因数??0.4，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度
h?10cm，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度大？最大加速度为多少？
【解析】 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有
最
?
F Fcos???(Mg?Fsin?)?Ma
整理得F(cos???sin?)??Mg?Ma
令cos???sin??A，可知，当A取最大值时a最大。 利用三角函数知识有：
A?1??2sin(???)，其中??arcsin11??2，而Amax?1??2，与此相对应的角为
??90??arcsin11??2?21.8?
所以加速度的最大值为：amax?F1??2M??g?6.8m/s2
此时木块离定滑轮的水平距离为：S?hcot??25cm
【说明】此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足Fsin?≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。
【例2】 在场强为E的水平匀强电场中以初速度v0竖直向上发射一个质量为m、带电荷量为+q的小球,求小球在运动过程中具有的最小速度.(重力加速度为g)
【解析】]如图所示,竖直方向,小球在重力mg作用下做竖直上抛运动,水平方向,小球在电场力qE作用
下做匀加速运动.t时刻,小球水平速度vx=
t,竖直速度vy=v0-gt,合速度大小为v,则
v2=+=t2+(v0-gt)2=
+g2t2-2v0gt+,v2是t的一元二次函数,且二次项的系数大于零,故
当t=-=-时,v2有最小值,解得vmin=
.
【答案】
【练2】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【解析】经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1?Vt，
汽车做匀加速运动，其位移为：S2?12at 21232?S?S?S?Vt?at?6t?t 两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当t??b?6??2(s)时，?S有最大值 2a2?(?3/2)?Sm?
4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)
【例3】 一轻绳一端固定在O点,另一端拴一小球,拉起小球使轻绳水平,然后无
初速度释放小球,小球在运动至轻绳到达竖直位置的过程中,小球所受重力的瞬时功率在何处取最大值?
【解析】]如图所示,当小球运动到绳与竖直方向夹角为θ时,重力的瞬时功率为P=mgvsin θ;由机械能
守恒定律得mglcos θ=mv2
解得P=mg
.
令y=cos θsin2θ=
=,因2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2为定值,故当且仅
当2cos2θ=sin2θ时,y有最大值.此时2cos2θ=sin2θ=1-cos2θ,解得cos θ=,即当cos θ=时,重力的瞬时功率有最大值.
【答案】轻绳与竖直方向夹角为arccos 处
【练3】如图所示，相距2L的A、B两点固定着两个正点电荷，带电量均为Q。在它们的中垂线上的C点，由静止释放一电量为q，质量为m的正检验电荷（不计重力） 。试求检验电荷运动到何处加速度最大，最大加速度为多少？
【解析】由于对称性，在AB的中点受力为零，在AB中垂线 上的其它点所受合力均是沿中垂线方向的。当q运动到中垂线 F2 D θ F1 Q + θ C ·Q 上的D点时，由图可知
F合?2F1sin??2故其加速度为：
a?F合m?kQqsin? 2(L/cos?)2kQqsin?cos2?mL2?2kQq3(sin??sin?) 2mL发现加速度是一个关于θ的函数，令f(?)?sin??sin3?
则f(?）的导数为f'(?)?cos??3sin2?cos? 令f'(?)?0,即cos??3sin2?cos??0
解得：sin??3，（??900有极值,不合题意） 3即??arcsin33?3?2??时，f(?)有极大值为??3 ??33?3?934KQq时，加速度有最大值为：3 239mL2所以当??arcsin【方法提示】利用数学求导的方法求极值
如果当Δx→0时，有极限，我们把这个极限叫做f(x)在该点(x=x0)的导数。它正是曲线在该点处切线的斜率tanα。如果f '(x0) =0, 则在x0处函数有极值
【一题多解】从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度v0水平抛出一小球，计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?
【解法一】设经t秒小球距离斜面最远，此时速度必与斜面平行，则
tg??vyvx?vgt 所以 t?0tg?时小球距离斜面最远。
gv0【解法二】小球远离斜面方向的初速度v0离=v0sin? 远离斜面方向的加速度
a离=-gcos? 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远。令v0离+a离t?0 则
v0离v0sin?v0t?=?tg?时相距最远。 a离gcos?g【解法三】球与斜面距离S?v0离t+a离t2??显然当t??12gcos?2?t?v0sin??t?0 2v0sin?v?0tg?时 距离最大 gcos?2(?)g2【解法四】解析法。选初速度方向为x轴正向，重力方向为y轴正向，则代表该斜面的直线方程为y?tg??x 平抛物体轨迹方程为y?物线上任意一点P0(x0,y0)到该直线距离S?注意到tg??x0?y0 故S??g2x，设抛22v01Ax0?By0?C11tg??x0?(?1)y0?01 ?2222A?Btg??(?1)gcos?2?x?sin??x0?0 022v0xvsin?v02显然二次函数有极大致的条件为x0???tg? 即t?0?0tg?
gcos?v0g2(?)g22v0【结语】解决极值问题的关键是扎实掌握高中物理的基本概念，基本规律，在分析清楚物理过程后，再灵活运用所学的数学知识。
综上所述，无论采用何种方法解物理极值问题，首先都必须根据题意，找出符合物理规律的物理方程或物理图象，这也是解决物理问题的核心，决不能盲目地将物理问题纯数学化。
高中物理重要方法典型模型突破5-数学方法(3)--极值问题（解析版）
