（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8. 由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD
当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
13∵△PCD为正三角形，∴DE=CD=，
22PD=3，
33. 2∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，
∴PE=∴
33AOPE4?,即=2， ABPB45PB315, 2∴PB?∴PO?BO?PB?8?315?8)， 2315， 2∴P(0,∴k?315?8. 2当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－∴k=－315－8， 2315－8)， 2∴当k=315315－8或k=－－8时，以⊙P与直线l的两个22交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S
36
与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 解：
37
5（09河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接．．
写出t的值． 解：（1）1，85；
（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP?3?t． 由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得
QF4?t5．∴QF?45t． ∴S?12(3?t)?45t，
即S??25t2?65t．
（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC，得AQAPAC?AB， 即t33??t5． 解得t?98． ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 AQAB?APAC， 即t?3?t53． 解得t?158． （4）t?5452或t?14．
①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
PC?t，QC2?QG2?CG2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]255．
由PC2?QC2，得t2?[3(5?t)]2?[4?4(5?t)]2，解得t?5552． 38
B E Q D A P
C 图16 B E Q D A 图P
C 4 B Q D E A P
C 图5
B Q G D A P C(E) 图6 B Q G D A C(E) P 图7
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
34(6?t)2?[(5?t)]2?[4?(5?t)]2，t?45】
55146（09河南））如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，BC?2．点O是AC的中点，过
点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为?． （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ； （2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
解（1）①30，1；②60，1.5； ????????4分 （2）当∠α=90时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.?????6分 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2,
∴∠A=30.
0
0
0
0
0
E O A l C ? D C B ∴AB=4,AC=23. ∴AO=
O A （备用图）
B 1AC=3 . ????????8分 20
在Rt△AOD中，∠A=30，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ????????10分
7（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
A D （1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． N 解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，
B C M 则四边形ADHK是矩形
∴KH?AD?3． ????????1分
sin45??42．在Rt△ABK中，AK?AB?2?4 2BK?AB?cos45??42?2?4 ········································································· 2分 2 39
22在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC?5?4?3
∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10?????3分
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG
A
∴BG?AD?3
∴GC?10?3?7?????4分
由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN
B ∴∠NMC?∠DGC K
又∠C?∠C
（图①） ∴△MNC∽△GDC
D
H
C
CNCM?????5分 ?CDCGt10?2t即? 5750解得，t??????6分
17∴
（3）分三种情况讨论：
①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t ∴t?A D
N
B
G （图②）
M
C
10?????7分 3D N A A D
N
B B C
M
（图④） （图③）
②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得EC?M H E
C
11MC??10?2t??5?t 22EC5?t在Rt△CEN中，cosc? ?NCtCH3又在Rt△DHC中，cosc??
CD55?t3∴?
t525解得t? ·············································································································· 8分
8解法二：
∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90?
40
中考数学动点问题专题讲解 - 图文
