高三数学一轮复习——直线与圆、圆与圆的位置关系
知 识 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的?（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
距离为d，由?
?Ax＋By＋C＝0
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置 关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 几何特征 代数特征 公切线条数 [微点提醒]
1.关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.
2.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
相离 d＞R＋r 外切 d＝R＋r 相交 R－r＜ d＜R＋r 内切 d＝R－r 内含 d＜R－r 几何法 d
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )
解析 (1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝5.
又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝得|AB|2＝10，即|AB|＝10. 答案
10
|3－2－6|
10?|AB|?＝2，由?2?＝r2－d2，
??9＋1
2
3.(必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
22??x＋y－4＝0，
解析 由?得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆
22??x＋y－4x＋4y－12＝0，
2
x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝2.由勾股定理得弦长的一半
2
为4－2＝2，所以，所求弦长为22.
答案 22
4.(2019·大连双基测试)已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为( ) A.±3
3
B.±3
3C.±2
D.±1
解析 由x2＋y2－4x＋2＝0得圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，所以该圆的圆心坐标为(2，0)，半径r＝2，又直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则圆心到直线的距离d＝答案 D
5.(2018·西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为( ) A.(－3，3) 33
C.(－3，3)
B.[－3，3] ?33?D.?－，?
3??3
|2m|m＋1
2
＝2，解得m＝±1.
解析 数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1，0)与直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即3
≤k≤3. 答案 D
6.(2019·北京海淀区模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，
|2k|
3
≤1，解得－31＋k2
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